Дві паралельні акорди кола з довжинами 8 і 10 служать основою трапеції, вписаної в коло. Якщо довжина радіуса кола дорівнює 12, то яка найбільша площа такої описаної вписаної трапеції?

Відповідь:

# 72 * sqrt (2) + 9 * sqrt (119) ~ = 200.002 #

Пояснення:

Розглянемо рис. 1 і 2

Схематично ми могли б вставити паралелограм ABCD в коло, і за умови, що сторони AB і CD є акордами кіл, у вигляді або фіг.1, або фіг.2.

Умова, що сторони AB і CD повинні бути акордами кола, означає, що вписана трапеція повинна бути рівнобедреною, оскільки

• діагоналі трапеції (# AC # і # CD #) рівні, оскільки
• #A hat B D = B A C = B hatD C = A C C #

  і лінія, перпендикулярна # AB # і # CD # Проходячи через центр E, ділить ці акорди (це означає, що # AF = BF # і # CG = DG # і трикутники, утворені перетином діагоналей з базами в Росії # AB # і # CD # є рівнобедреними).

Але оскільки площа трапеції є

# S = (b_1 + b_2) / 2 * h #, де # b_1 # стенди для бази-1, # b_2 # для бази-2 і # h # для висоти, і # b_1 # паралельно # b_2 #

А з тих пір фактор # (b_1 + b_2) / 2 # рівна в гіпотезах рис. 1 і 2, важливо, в якій гіпотезі трапеція має більшу висоту (# h #). У даному випадку, якщо хорди менше радіусу кола, немає сумніву, що в гіпотезі на малюнку 2 трапеція має більшу висоту і тому має більш високу область.

Згідно фіг.2, з # AB = 8 #, # CD = 10 # і # r = 12 #

#triangle_ (BEF) -> cos alpha = ((AB) / 2) / r = (8/2) / 12 = 4/3 = 1/3 #

# -> sin alpha = sqrt (1-1 / 9) = sqrt (8) / 3 = 2sqrt (2) / 3 #

# -> tan alpha = (sin alpha) / cos alpha = (2sqrt (2) / cancel (3)) / (1 / cancel (3)) = 2sqrt (2) #

#tan alpha = x / ((AB) / 2) # => # x = 8 / скасувати (2) * скасувати (2) sqrt (2) # => # x = 8sqrt (2) #

#triangle_ (ЕКГ) -> cos beta = ((CD) / 2) / r = (10/2) / 12 = 5/12 #

# -> sin beta = sqrt (1-25 / 144) = sqrt (119) / 12 #

# -> tan бета = (sin beta) / cos beta = (sqrt (119)) / скасувати (12)) / (5 / скасувати (12)) = sqrt (119) / 5 #

#tan beta = y / ((CD) / 2) # => # y = 10/2 * sqrt (119) / 5 # => # y = sqrt (119) #

Потім

# h = x + y #

# h = 8sqrt (2) + sqrt (119) #

# S = (b_1 + b_2) / 2 * h = (8 + 10) / 2 (8sqrt (2) + sqrt (119)) = 72sqrt (2) + 9sqrt (119) ~ = 200.002 #