Розглянемо 3 рівних кола радіуса r в межах даного кола радіуса R, кожен з яких торкається двох інших і даного кола, як показано на малюнку, тоді площа затіненої області дорівнює?

Ми можемо сформувати вираз для області затіненої області так:

#A_ "затінене" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "центр" #

де #A_ "center" # - площа невеликого ділянки між трьома меншими колами.

Щоб знайти область, ми можемо намалювати трикутник, з'єднавши центри трьох менших білих кіл. Оскільки кожне коло має радіус # r #, довжина кожної сторони трикутника # 2r # і трикутник рівносторонній, так що мають кути # 60 ^ o # кожен.

Таким чином, можна сказати, що кут центральної області - це площа цього трикутника мінус три сектори кола. Висота трикутника просто #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, так що площа трикутника є # 1/2 * base * height = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Площа трьох сегментів кола в межах цього трикутника є по суті тією ж площею, що і половина одного з кіл (через наявність кутів # 60 ^ o # кожен, або #1/6# тому ми можемо вивести загальну площу цих секторів # 1/2 pir ^ 2 #.

Нарешті, ми можемо розробити область центрального регіону #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Таким чином, повертаючись до нашого початкового виразу, область затіненої області є

# piR ^ 2-3per ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Відповідь:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Пояснення:

Дамо білим колам радіус # r = 1 #. Центри формують рівносторонній трикутник зі сторони #2#. Кожна середня / висота #sqrt {3} # тому відстань від вершини до центроїда становить # 2/3 sqrt {3} #.

Центроїд - центр великого кола, отже, це відстань між центром великого кола і центром маленького кола. Додаємо невеликий радіус # r = 1 # отримати

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Область, до якої ми прагнемо, - це область великого кола, а не рівносторонній трикутник і решта #5/6# кожного маленького кола.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 кв. {3}) ^ 2 - 3 (5/6 піт.) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Ми масштабуємо # r ^ 2 # загалом.