Будь ласка, допоможіть мені в цьому, як це зробити?

Відповідь:

#k = 3 #

Пояснення:

Використовуючи властивості показників, що # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # і # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, ми маємо

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

Таким чином #13!# ділиться на # 24 ^ k # якщо і тільки якщо #13!# ділиться на # 2 ^ (3k) # і ділиться на # 3 ^ k #.

Ми можемо сказати найбільшу силу #2# за допомогою якого #13!# ділиться на, якщо ми розглянемо його фактори, які діляться на #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Оскільки жоден з непарних факторів не сприяє будь-яких факторів #2#, ми маємо

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

де # m # це деяке ціле число, яке не ділиться на #2#. Таким чином, ми знаємо це #13!# ділиться на # 2 ^ (3k) # якщо і тільки якщо #2^10# ділиться на # 2 ^ (3k) #, значення # 3k <= 10 #. Як # k # це ціле число, це означає #k <= 3 #.

Далі ми можемо подивитися, на які чинники #13!# діляться на #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Як ніяких інших факторів #13!# внести будь-які фактори #3#, це означає

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

де # n # це деяке ціле число, яке не ділиться на #3#. Таким чином, ми знаємо це #3^5# ділиться на # 3 ^ k #, значення #k <= 5 #.

Найбільше невід'ємне ціле число, що задовольняє обмеженням #k <= 3 # і #k <= 5 # є #3#, давши нам свою відповідь # k = 3 #.

Калькулятор перевірить це #(13!)/24^3 = 450450#, тоді як #(13!)/24^4=18768.75#