Доведіть, що якщо n непарне, то n = 4k + 1 для деякого k у ZZ або n = 4k + 3 для деякого k у ZZ?

Ось основний план:

Пропозиція: Якщо # n # тоді дивно # n = 4k + 1 # для деяких #k у ZZ # або # n = 4k + 3 # для деяких #k у ZZ #.

Доказ: Дозволяє #n у ZZ # де # n # це дивно. Розділити # n # на 4.

Потім, за алгоритмом поділу, # R = 0,1,2, # або #3# (залишок).

Випадок 1: R = 0. Якщо залишок є #0#, потім # n = 4k = 2 (2k) #.

#:. n # навіть

Випадок 2: R = 1. Якщо залишок є #1#, потім # n = 4k + 1 #.

#:. n # це дивно.

Випадок 3: R = 2. Якщо залишок є #2#, потім # n = 4k + 2 = 2 (2k + 1) #.

#:. n # навіть.

Випадок 4: R = 3. Якщо залишок є #3#, потім # n = 4k + 3 #.

#:. n # це дивно.

#:. n = 4k + 1 або n = 4k + 3 # якщо # n # див