Четверта потужність загальної різниці арифметичної прогресії з цілими записами додається до твору будь-яких чотирьох послідовних членів її. Доведіть, що результуюча сума є квадратом цілого числа?

Четверта потужність загальної різниці арифметичної прогресії з цілими записами додається до твору будь-яких чотирьох послідовних членів її. Доведіть, що результуюча сума є квадратом цілого числа?
Anonim

Нехай загальною різницею AP цілих чисел є # 2d #.

Будь-які чотири послідовні терміни прогресії можуть бути представлені як # a-3d, a-d, a + d і a + 3d #, де # a # є цілим числом.

Отже, сума продуктів цих чотирьох термінів і четверта сила загальної різниці # (2d) ^ 4 # буде

# = колір (синій) ((a-3d) (a-d) (a + d) (a + 3d)) + колір (червоний) ((2d) ^ 4) #

# = колір (синій) ((^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + колір (червоний) (16d ^ 4) #

# = колір (синій) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + колір (червоний) (16d ^ 4) #

# = колір (зелений) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) #

# = колір (зелений) ((a ^ 2-5d ^ 2) ^ 2 #, що є ідеальною площею.

Число 3х3 не сингулярних матриць, з чотирма записами як 1 і всіма іншими записами, дорівнює 0, тобто? а) 5 б) 6 в) не менше 7 д) менше 4

Число 3х3 не сингулярних матриць, з чотирма записами як 1 і всіма іншими записами, дорівнює 0, тобто? а) 5 б) 6 в) не менше 7 д) менше 4

Є точно 36 таких несингулярних матриць, так що в) правильна відповідь. Спочатку розглянемо число неоднорідних матриць з 3 входами, що мають 1 і інші 0. Вони повинні мати один 1 у кожному з рядків і стовпців, тому єдині можливості: ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) "" ((1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)) "" ((0, 1, 0) , (1, 0, 0), (0, 0, 1)) ((0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0)) "" ((0, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)) "" ((0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)) Для кожного з них 6 можливостей ми можемо зробити будь-який з решти шести 0-х у 1. Вони всі розрізняються. Отже, є в загальній складності 6 xx

Сума перших чотирьох членів ДП становить 30, а з останніх чотирьох - 960. Якщо перший і останній термін ДП - 2, а 512 - знайти загальний коефіцієнт.

Сума перших чотирьох членів ДП становить 30, а з останніх чотирьох - 960. Якщо перший і останній термін ДП - 2, а 512 - знайти загальний коефіцієнт.

2root (3) 2. Припустимо, що загальний коефіцієнт (cr) розглянутого GP є r і n ^ (th) термін є останнім терміном. Враховуючи, що перший термін ДП становить 2.: "ГП є" {2,2r, 2r ^ 2,2r ^ 3, .., 2r ^ (n-4), 2r ^ (n-3) , 2r ^ (n-2), 2r ^ (n-1)}. Дано, 2 + 2r + 2r ^ 2 + 2r ^ 3 = 30 ... (зірка ^ 1), і, 2r ^ (n-4) + 2r ^ (n-3) + 2r ^ (n-2) + 2r ^ (n-1) = 960 ... (зірка ^ 2). Ми також знаємо, що останній термін - 512.:. r ^ (n-1) = 512 .................... (зірка ^ 3). Тепер, (зірка ^ 2) rArr r ^ (n-4) (2 + 2r + 2r ^ 2 + 2r ^ 3) = 960, тобто (r ^ (n-1)) / r ^ 3 (2 + 2r) + 2r ^ 2 + 2r ^ 3) = 960. :. (512) / r ^ 3 (30) = 9

Доведіть, що числа послідовності 121, 12321, 1234321, ..... кожен є ідеальним квадратом непарного цілого числа?

Доведіть, що числа послідовності 121, 12321, 1234321, ..... кожен є ідеальним квадратом непарного цілого числа?

Зауважимо, що квадратний корінь з 12345678910987654321 не є цілим числом, тому наш шаблон тільки до 12345678987654321. Оскільки шаблон є кінцевим, ми можемо довести це безпосередньо. Зауважимо, що: 11 ^ 2 = 121 111 ^ 2 = 12321 1111 ^ 2 = 1234321 ... 111111111 ^ 2 = 12345678987654321 У кожному випадку, ми маємо число, що повністю складається з 1, будучи квадрат, щоб отримати наш результат. Оскільки ці числа закінчуються на 1, вони повинні бути непарними. Таким чином, ми довели твердження, що 121, 12321, ..., 12345678987654321 є досконалими квадратами непарних цілих чисел.