Зауважимо, що квадратний корінь з 12345678910987654321 не є цілим числом, тому наш шаблон тільки до 12345678987654321. Оскільки шаблон є кінцевим, ми можемо довести це безпосередньо.
Зауважте, що:
У кожному випадку ми маємо число, що повністю складається з
Перший і другий члени геометричної послідовності є відповідно першим і третім членом лінійної послідовності. Четвертий член лінійної послідовності дорівнює 10, а сума перших п'яти її термінів - 60 Знайти перші п'ять членів лінійної послідовності?
{16, 14, 12, 10, 8} Типова геометрична послідовність може бути представлена як c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ k і типова арифметична послідовність як c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, c_0a + kDelta Виклик c_0 a як перший елемент для геометричної послідовності маємо {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "Перший і другий з GS є першим і третім LS"), (c_0a + 3Delta = 10- > "Четвертий член лінійної послідовності дорівнює 10"), (5c_0a + 10Delta = 60 -> "Сума її першого п'яти терміна становить 60"):} Вирішення для c_0, a, Delta отримуємо c_0 = 64/3 , a = 3/4, дельта = -2 і перші п'
Четверта потужність загальної різниці арифметичної прогресії з цілими записами додається до твору будь-яких чотирьох послідовних членів її. Доведіть, що результуюча сума є квадратом цілого числа?
Нехай загальна різниця AP цілих чисел буде 2d. Будь-які чотири послідовні терміни прогресії можуть бути представлені як a-3d, a-d, a + d і a + 3d, де a є цілим числом. Таким чином, сума продуктів цих чотирьох членів і четвертої потужності загальної різниці (2d) ^ 4 буде = колір (синій) ((a-3d) (ad) (a + d) (a + 3d)) + колір (червоний) ((2d) ^ 4) = колір (синій) ((a ^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + колір (червоний) (16d ^ 4) = колір (синій) ) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + колір (червоний) (16d ^ 4) = колір (зелений) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) = колір (зелений) ((^ 2-5d ^ 2) ^ 2, що є ідеальним квадратом.
Другий член в геометричній послідовності - 12. Четвертий член в тій же послідовності - 413. Яке загальне відношення в цій послідовності?
Загальний коефіцієнт r = sqrt (413/12) Другий термін ar = 12 Четвертий член ar ^ 3 = 413 Загальне співвідношення r = {ar ^ 3} / {ar} r = sqrt (413/12)