Чому факториали не існують для негативних чисел?

Відповідь:

Існувало б протиріччя з його функцією.

Пояснення:

Одне з основних практичних застосувань факториала полягає в тому, щоб дати вам кількість способів перестановки об'єктів. Ви не можете перемикати #-2# об'єктів, тому що ви не можете мати менше #0# об'єкти!

Відповідь:

Це залежить від того, що ви маєте на увазі …

Пояснення:

Факторіали визначаються для цілих чисел наступним чином:

#0! = 1#

# (n + 1)! = (n + 1) n!

Це дозволяє визначити, що ми розуміємо під "Факторіал" для будь-якого неотрицательного цілого числа.

Як це визначення можна поширити на інші номери?

Гамма-функція

Чи існує безперервна функція, яка дозволяє нам "приєднуватися до точок" і визначати "Факторіал" для будь-якого неотрицательного Реального числа?

Так.

#Gamma (t) = int_0 ^ oo x ^ (t-1) e ^ (- x) dx #

Це свідчить про інтеграцію за частинами #Gamma (t + 1) = t Гамма (t) #

Для натуральних чисел # n # ми знайшли #Gamma (n) = (n-1)! #

Ми можемо розширити визначення #Gamma (t) # до негативних чисел #Gamma (t) = (Гамма (t + 1)) / t #, крім випадків #t = 0 #.

На жаль, це означає #Gamma (t) # не визначено, коли # t # є нулем або від'ємним цілим числом. The # Гамма # Функція має простий полюс на #0# і від'ємні цілі числа.

Інші варіанти

Чи є інші розширення "Факторіал", які мають значення для від'ємних цілих чисел?

Так.

Римський факториал визначається наступним чином:

#stackrel () (| __n ~ |!) = {(n !, якщо n> = 0), ((-1) ^ (- n-1) / ((- n-1)!), якщо n < 0):} #

Це названо на честь математика С. Романа, а не римлян, і використовується для забезпечення зручного позначення коефіцієнтів гармонічного логарифма.