Чому ми отримуємо натуральне число на множення двох негативних цілих чисел?

Відповідь:

Використовувати дистрибутивність множення над додаванням та інші властивості арифметики для демонстрації …

Пояснення:

Додавання і множення цілих чисел мають різні властивості, відомі як аксіоми. Я буду використовувати скорочення # AA # "за всіх", # EE # "існує", #:# "такі, що" такі:

Існує адитивна ідентичність #0#:

#EE 0: AA a + 0 = 0 + a = a #

Додавання є комутативним:

#AA a, b "" a + b = b + a #

Додаток асоціативний:

#AA a, b, c "" (a + b) + c = a + (b + c) #

Усі цілі числа мають інверсію під додаванням:

#AA a EE b: a + b = b + a = 0 #

Існує мультиплікативна ідентичність #1#:

#EE 1: AA "" a * 1 = 1 * a = a #

Множення є комутативним:

#AA a, b "" a * b = b * a #

Множення є асоціативним:

#AA a, b, c "" (a * b) * c = a * (b * c) #

Множення поширюється ліворуч і праворуч над додаванням:

#AA a, b, c "" a * (b + c) = (a * b) + (a * c) #

#AA a, b, c "" (a + b) * c = (a * c) + (b * c) #

Ми використовуємо позначення # -a # для представлення адитивної інверсії # a # і позначення # a-b # як скорочення #a + (- b) #.

Зауважимо, що асоціативність додавання означає, що ми можемо однозначно записати:

# a + b + c #

Використовуючи конвенцію PEMDAS, що додавання та віднімання виконуються зліва направо, ми можемо уникнути написання ще декількох дужок, але залишати їх однозначними.

Тоді ми знаходимо:

# (- a) (- b) = (-a) (- b) + 0 #

#color (білий) ((- - a) (- b)) = (-a) (- b) + (- ab) + ab #

#color (білий) ((- - a) (- b)) = ((-a) (- b) -ab) + ab #

#color (білий) ((- - a) (- b)) = ((-a) (- b) + 0-ab) + ab #

#color (білий) ((- a) (- b)) = ((-a) (- b) + (a) (- b) - (a) (- b) -ab) + ab #

#color (білий) ((- a) (- b)) = ((-a) (- b) + (a) (- b)) - ((a) (- b) + ab)) + ab #

#color (білий) ((- - a) (- b)) = ((-a) + a) (- b) - (a) ((- b) + b)) + ab #

#color (білий) ((- a) (- b)) = (0 * (- b)) - (a * 0) + ab #

#color (білий) ((- a) (- b)) = 0-0 + ab #

#color (білий) ((- a) (- b)) = 0 + ab #

#color (білий) ((- a) (- b)) = ab #

Так якщо #a, b # позитивні, і ви задоволені цим # ab # теж позитивний # (- a) * (- b) = ab # також позитивний.