Припустимо, що для підпростори W в RR ^ 4 існує підстава і деяка кількість розмірів. Чому кількість розмірів 2?

Відповідь:

4 розміри мінус 2 обмеження = 2 розміри

Пояснення:

Третій і четвертий координати є єдиними незалежними. Перші два можуть бути виражені в термінах двох останніх.

Відповідь:

Розмірність підпростір визначається його базисами, а не розмірністю будь-якого векторного простору, що є підпростором.

Пояснення:

Розмірність векторного простору визначається числом векторів в основі цього простору (для нескінченних мірних просторів вона визначається потужністю базису). Зауважимо, що це визначення є послідовним, оскільки можна довести, що будь-яка основа векторного простору буде мати таку ж кількість векторів, як і будь-яка інша основа.

У випадку # RR ^ n # ми знаємо це #dim (RR ^ n) = n # як

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

є основою для # RR ^ n # і має # n # елементи.

У випадку #W = s, t у RR # ми можемо написати будь-який елемент у # W # як #svec (u) + vec (v) # де #vec (u) = (4,1,0,1) # і #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

З цього ми маємо це # {vec (u), vec (v)} # - це набір, що охоплює # W #. Оскільки #vec (u) # і #vec (v) # явно не скалярні кратні один одному (зверніть увагу на положення #0#s), що означає # {vec (u), vec (v)} # є лінійно незалежним охоплюючим набором для # W #що є основою. Оскільки # W # має основу з #2# ми говоримо про це #dim (W) = 2 #.

Зауважимо, що розмірність векторного простору не залежить від того, чи можуть існувати його вектори в інших векторних просторах більшої розмірності. Єдине відношення полягає в тому, що якщо # W # є підпростір # V # потім #dim (W) <= dim (V) # і #dim (W) = dim (V) <=> W = V #