Чи є sqrt21 дійсне число, раціональне число, ціле число, ціле число, ірраціональне число?

Відповідь:

Це ірраціональне число і тому реальне.

Пояснення:

Доведемо це спочатку #sqrt (21) # є дійсним числом, насправді, квадратний корінь всіх позитивних дійсних чисел є реальним. Якщо # x # є дійсним числом, то ми визначаємо для позитивних чисел #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Це означає, що ми дивимося на всі реальні числа # y # такий, що # y ^ 2 <= x # і візьмемо найменше реальне число, яке більше, ніж усі ці # y #'s, так званий супремум. Для негативних чисел ці # y #'s не існує, оскільки для всіх дійсних чисел, приймаючи квадрат цього числа, виникає позитивне число, а всі позитивні числа більше, ніж негативні числа.

Для всіх позитивних чисел завжди є деякі # y # що відповідає умові # y ^ 2 <= x #а саме #0#. Крім того, існує верхня межа до цих чисел, а саме # x + 1 #, оскільки якщо # 0 <= y <1 #, потім # x + 1> y #, якщо #y> = 1 #, потім #y <= y ^ 2 <= x #, тому # x + 1> y #. Ми можемо показати, що для кожного обмеженого непустого множини дійсних чисел завжди є унікальне дійсне число, яке діє як супремум, завдяки так званій повноті. # RR #. Отже, для всіх позитивних дійсних чисел # x # є реальне #sqrt (x) #. Можна також показати, що в цьому випадку #sqrt (x) ^ 2 = x #Але якщо ви не захочете, я не докажу цього. Нарешті відзначимо це #sqrt (x)> = 0 #, з #0# це число, яке відповідає умові, як зазначено раніше.

Тепер про ірраціональність Росії #sqrt (21) #. Якби це не було ірраціональним (настільки раціональним), ми могли б написати це як #sqrt (21) = a / b # с # a # і # b # цілі числа і # a / b # спрощена, наскільки це можливо, що означає # a # і # b # не мають спільного дільника, крім #1#. Тепер це означає, що # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Тепер ми використовуємо те, що називається простою факторизацією натуральних чисел. Це означає, що ми можемо записати кожне позитивне ціле число як унікальний продукт простих чисел. Для #21# це #3*7# і для # a # і # b # це якийсь довільний продукт простих чисел # a = a_1 * … * a_n # і # b = b_1 * … * b_m #. Справа в тому, що єдиний загальний дільник Росії # a # і # b # є #1# еквівалентно тому, що # a # і # b # не розділяють простих чисел у їх факторизації, тому є # a_i # і # b_j # такий, що # a_i = b_j #. Це означає що # a ^ 2 # і # b ^ 2 # також не використовують жодні прості числа, оскільки # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # і # b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., тому єдиний загальний дільник Росії # a ^ 2 # і # b ^ 2 # є #1#. З # a ^ 2 = 21b ^ 2 #, це означає # b ^ 2 = 1 #, тому # b = 1 #. Тому #sqrt (21) = a #. Зауважимо, що це стосується лише припущення, що #sqrt (21) # є раціональним.

Тепер ми, звичайно, можемо пройти через всі цілі позитивні числа, менші ніж #21# і перевірте, чи дає квадрат #21#, але це нудний метод. Щоб зробити це більш цікавим способом, ми знову повернемося до наших простих чисел. Ми знаємо це # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # і #21=3*7#, тому # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. З лівого боку, кожен прем'єр виникає лише один раз, на правій руці, кожен прем'єр виникає принаймні двічі, і завжди рівна кількість разів (якщо # a_1 = a_n # це було б для того, щоб відбувалося принаймні чотири рази). Але, як ми вже говорили, ці прості факторизації є унікальними, тому це не так. Тому # 21nea ^ 2 #, тому #anesqrt (21) #, мається на увазі, що наше попереднє припущення #sqrt (21) # Отже, раціональність виявляється неправильною #sqrt (21) # є ірраціональним.

Зауважте, що той самий аргумент зберігається для будь-якого позитивного цілого числа # x # з простою факторизацією, де один з простих чисел має нерівномірне число разів, оскільки квадрат цілого числа завжди має всі його прості множники, які мають рівну кількість разів. З цього ми робимо висновок, що якщо # x # є позитивним цілим числом (#x inNN #) має основний коефіцієнт, який відбувається лише нерівномірно, #sqrt (x) # буде ірраціональним.

Я розумію, що цей доказ може здатися трохи довгим, але він використовує важливі поняття з математики. Напевно, у будь-якій навчальній програмі середньої школи, такі міркування не враховані (я не впевнений на 100%, я не знаю навчальної програми кожної середньої школи в світі), але для реальних математиків, доказ матеріалу є одним з найважливіші заходи, які вони здійснюють. Тому я хотів показати вам, що за математика стоїть за квадратний корінь речей. Що ви повинні відняти від цього, це дійсно #sqrt (21) # є ірраціональним числом.