Функція швидкості є v (t) = –t ^ 2 + 3t - 2 для частинки, що рухається вздовж лінії. Яке зміщення (чиста відстань, що покривається) частинки протягом інтервалу часу [-3,6]?

Відповідь:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103,5 #

Пояснення:

Площа під кривою швидкості еквівалентна відстані.

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# = int _ (- 3) ^ 6 -t ^ 2 + 3t-2color (білий) ("X") dt #

# = - 1 / 3t ^ 3 + 3 / 2t ^ 2-2t | _color (синій) ((- 3)) ^ колір (червоний) (6) #

# = (колір (червоний) (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) - (колір (синій) (- 1/3 (-3) ^ 3 +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3))) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

Відповідь:

Початкове запитання дещо заплутано, оскільки означає, що переміщення та відстань - це те ж саме, чого це не так.

Я встановив необхідну інтеграцію для кожного окремого випадку.

Пояснення:

Загальна відстань (скалярна величина, що представляє дійсну довжину шляху) задається сумою часткових інтегралів

# x = int _ (- 3) ^ 1 (0 - (- t ^ 2 + 3t-2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt + int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Повне переміщення (векторна величина, що представляє пряму лінію від початку до кінця руху) наведена за величиною наступним інтегралом

# | vecx | = -int _ (- 3) ^ 1 (t ^ 2-3t + 2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt-int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2)) dt #

Графік функції швидкості з часом дає зрозуміти, чому ці інтеграли повинні бути створені для того, щоб виконувалися векторні правила і щоб задовольнялися визначення.

графік {-x ^ 2 + 3x-2 -34,76, 38,3, -21,53, 14,98}