Як інтегрувати int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx з використанням тригонометричної заміни?

Відповідь:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) = l n | sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) + (x-2) / 3 | + C #

Пояснення:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 9 + 4) d x #

#int 1 / (sqrt ((x-2) ^ 2 + 3 ^ 2)) d x #

# x-2 = 3tan theta "" d x = 3sec ^ 2 theta d theta #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = int (3сек ^ 2 тета д тета) / sqrt (9tan ^ 2 тета + 9) = int (3сек ^ 2 тета д тета) / (3sqrt (1 + tan ^ 2 тета)) "" 1 + tan ^ 2 тета = sec ^ 2 тета #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int (3сек ^ 2 тета д тета) / (3sqrt (sec ^ 2 тета)) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int (скасування (3 сек ^ 2 тета) d тета) / (скасування (3 сек тета)) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int sec theta d theta #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = l n | сек theta + tan theta | + C #

#tan theta = (x-2) / 3 "" сек theta = sqrt (1 + tan ^ 2 тета) = sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) = l n | sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) + (x-2) / 3 | + C #

Відповідь:

# sinh ^ -1 ((x-2) / 3) + C #

Пояснення:

Можлива також гіперболічна версія:

• # x-2 = 3 sinh u #
• #dx = 3 cosh u du #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = int 1 / sqrt (9 сінх ^ 2 u + 9) 3кош у ду = int 1 / (3кош у) 3кош у ду = u + С #

Звідси:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = sinh ^ -1 ((x-2) / 3) + C #