Забруднення в нормальній атмосфері менше 0,01%. Внаслідок витоку газу з фабрики забруднення збільшується до 20%. Якщо щодня 80% забруднень нейтралізується, то за скільки днів атмосфера буде нормальною (log_2 = 0.3010)?

Відповідь:

#ln (0,0005) / ln (0,2) ~ = 4,72 # днів

Пояснення:

Відсоток забруднення дорівнює #20%#, і ми хочемо з'ясувати, скільки часу потрібно для того, щоб він пішов #0.01%# якщо забруднення зменшується на #80%# щодня.

Це означає, що кожен день ми збільшуємо відсоток забруднення #0.2# (#100%-80%=20%)#. Якщо ми зробимо це протягом двох днів, це буде відсоток, помножений на #0.2#, помножений на #0.2# знову ж таки, як це множення на #0.2^2#. Можна сказати, що якщо ми це зробимо # n # днів, ми б помножилися на # 0.2 ^ n #.

#0.2# є вихідна кількість забруднень, і #0.0001# (#0.01%# у десятковій) - це сума, яку ми хочемо отримати. Ми задаємося питанням, скільки разів нам потрібно помножити #0.2# потрапити. Це можна висловити наступним рівнянням:

# 0.2 * 0.2 ^ n = 0.0001 #

Щоб її вирішити, ми спочатку розділимо обидві сторони на #0.2#:

# (cancel0.2 * 0.2 ^ n) /cancel0.2=0.0001/0.2#

# 0.2 ^ n = 0.0001 / 0.2 = 0.0005 #

Тепер можна взяти логарифм з обох сторін. Який логарифм ми використовуємо не має значення, ми тільки після властивостей логарифму. Я збираюся вибрати природний логарифм, оскільки він присутній на більшості калькуляторів.

#ln (0,2 ^ n) = ln (0,0005) #

З #log_x (a ^ b) = blog_x (a) # ми можемо переписати рівняння:

#nln (0.2) = ln (0.0005) #

Якщо розділити обидві сторони, отримаємо:

# n = ln (0,0005) / ln (0,2) ~ = 4,72 #