Як ви використовуєте тест порівняння лімітів на суму 1 / (n + sqrt (n)) для n = 1 до n = oo?

Відповідь:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # розходиться, це можна побачити, порівнявши його #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

Пояснення:

Оскільки ця серія є сумою позитивних чисел, нам потрібно знайти або збіжний ряд #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # такий, що #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # і робимо висновок, що наша серія є конвергентною, або нам потрібно знайти розбіжні ряди такі, що #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # і завершіть нашу серію, щоб вони також розходилися.

Ми зауважуємо наступне:

Для

#n> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

Тому

# n + sqrt (n) <= 2n #.

Тому

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Оскільки це добре відомо #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # розходиться, так #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # розходяться також, оскільки, якщо він буде сходитися, то # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # і сходиться, і це не так.

Тепер, використовуючи тест порівняння, ми бачимо це #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # розходиться.

Тест порівняння лімітів приймає дві серії, # suma_n # і # sumb_n # де #a_n> = 0 #, # b_ngt0 #.

Якщо #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # де #L> 0 # і є кінцевим, то або обидві серії сходяться або обидві серії розходяться.

Ми повинні дозволити # a_n = 1 / (n + sqrtn) #, послідовність з даної серії. Добрий # b_n # вибір - це непереборна функція # a_n # підходи як # n # стає великим. Отже, нехай # b_n = 1 / n #.

Зверніть увагу на це # sumb_n # розходиться (це гармонійний ряд).

Отже, ми бачимо це #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #. Продовжуючи ділення на # n / n #, це стає #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

З лімітом є #1#, який #>0# і визначено, ми бачимо це # suma_n # і # sumb_n # як розходяться, так і сходяться. Оскільки ми вже знаємо на # sumb_n # розходиться, можна зробити висновок, що # suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # розходяться також.