Що таке абелева група, з точки зору лінійної / абстрактної алгебри?

Відповідь:

Абелева група - це група з додатковою властивістю групової операції, яка є комутативною.

Пояснення:

A групи # <G, •> # - набір # G # разом з двійковою операцією # •: GxxG-> G # які виконують наступні умови:

1. # G # є зачинено під #•#.

   Для будь-якого # a, binG #, ми маємо # a • b у G #

2. #•# є асоціативно.

   Для будь-якого # a, b, cinG #, ми маємо # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

3. # G # містить елемент ідентичності

   Існує # einG # таке, що для всіх # ainG #, # a • e = e • a = a #

4. Кожен елемент # G # має зворотний в # G #

   За всіх # ainG # існує #a ^ (- 1) inG # такий, що # a • a ^ (- 1) = a ^ (- 1) • a = e #

Називають групу Абелеві якщо він також має властивість, що #•# є комутативним, тобто для всіх # a, binG #, ми маємо # a • b = b • a #.

Група # <ZZ, +> # (цілі числа зі стандартним доповненням) є абелевою групою, оскільки вона виконує всі п'ять перерахованих вище умов.

Група # GL_2 (RR) # (набір оборотних # 2 "x" 2 # матриці з реальними елементами разом з матричним множенням) неабелеві, оскільки, хоча вона виконує перші чотири умови, матричне множення між оберненими матрицями не обов'язково є комутативним. Наприклад:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

але

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#