Що відбувається, коли щось росте в геометричній прогресії?

Взагалі: Для експоненціальної функції, показник якої прагне до # + - oo # як # x-> oo #, функція прагне # oo # або 0 відповідно як # x-> oo #.

Зверніть увагу, що це стосується також #x -> - oo # Далі, як підходить експонент # + - oo #, хвилини змінюються в # x # (зазвичай) призведе до різких змін у вартості функції.

Зауважимо, що поведінка змінюється для функцій, де базова експоненціальна функція, тобто # a # в #f (x) = a ^ x #, така, що # -1 <= a <= 1 #.

Ті за участю # -1 <= a <0 # буде поводитися дивно (як. t #f (x) # не буде приймати ніяких реальних значень, за винятком де # x # є цілим числом, в той час як # 0 ^ x # завжди 0 і # 1 ^ x # завжди 1.

Для цих значень # 0oo #, #f (x) -> 0 #, і як #x -> - oo #, #f (x) -> oo #

Припустимо, що багатство власника бізнесу зростає в геометричній прогресії. У 1993 році він мав 40 мільйонів доларів. У 2001 році він мав 55 мільйонів доларів. Скільки грошей він отримає в 2010 році?

$ 78,68 млн. Нехай багатство w = ab ^ y, одиниця w дорівнює 1 мільйон доларів, а одиниця y - 1 рік. Нехай y = 0, на початку 1993 року, а багатство w = 40, то. Використовуючи початкові умови y = 0 і w = 40, a = 40. Використовуючи відповідні значення y = 2001-1993 = 8 і w = 55, тоді 55 = 40b ^ 8. Так, b ^ 8 = 11/8 і b = (11/8) ^ (1/8). = 1.0406, майже. Отже, модель багатства w = 40 ((11/8) ^ (1/8)) ^ y = 40 (1.0406) ^ y, для наближення У 2010, y = 2010-1993 = 17. w тоді буде 40 (1.04006) ^ 17 = 78,68. Відповідь: $ 78,68 млн., Майже. .

Населення США становило 203 мільйони в 1970 році та 249 мільйонів у 1990 році. Якщо вона зростає в геометричній прогресії, що буде в 2030 році?

375 мільйонів, майже. Нехай популяція Y років з 1970 р. Становить мільйон. Для експоненціального зростання математична модель буде P = A B ^ Y $. При Y = 0, P = 203. Отже, 203 = AB ^ 0 = A (1) = A. З Y = 0 в 1970 р. Y в 1990 р. 20 і P тоді було 249 ... Так, 249 = 203 B ^ 20 $. Вирішення, B = (249/203) ^ (1/20) = 1.0103, майже Отже, P = 203 (249/203) ^ (Y / 20) Тепер, у 2030, Y = 60, і так, P = 203 (1.0103) ^ 60 = 375 мільйонів, округлених до 3-sd.

Об'єм заготівлі деревини в молодому лісі зростає в геометричній прогресії з річною швидкістю зростання, що дорівнює 3,5%. Який відсоток збільшення очікується через 10 років?

На 10% очікується збільшення обсягу деревини на 41%. Нехай початковий об'єм деревини буде x Швидкість росту за рік r = 3.5% = 3.5 / 100 = 0.035 Кінцеве рівняння лісоматеріалу y = x (1 + r) ^ t; t - кількість років. Остаточний обсяг після 10 років - y = x (1 + 0,035) ^ 10 або y = x (1,035) ^ 10 ~ 1,4106 * x Збільшення відсотка за 10 років y% = (1,4106 x-x) / x * 100:. y% = (скасувати x (1.4106-1)) / скасувати x * 100 = 41.06% Збільшення обсягу деревини на 41% очікується через 10 років. [Ans]