Коли ви використовуєте формулу Герона, щоб знайти область?

Ви можете використовувати його, коли ви знаєте довжини всіх трьох сторін трикутника.

Я сподіваюся, що це було корисно.

Відповідь:

Формула Герона майже завжди є неправильною формулою для використання; спробуйте теорему Архімеда про трикутник з площею # A # і сторони # a, b, c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # де # s = 1/2 (a + b + c) #

Цей останній тонко завуальований чапля.

Пояснення:

Герой Олександрійський писав у першому столітті нашої ери. Чому ми продовжуємо мучити студентів своїм результатом, коли сучасних еквівалентів набагато краще, я поняття не маю.

Формула Герона для області # A # трикутника з боками # a, b, c # є

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # де # s = 1/2 (a + b + c) # є напівпериметром.

Немає сумніву, що ця формула приголомшлива. Але це незручно використовувати через фракцію і, якщо ми починаємо з координат, чотири квадратні корені.

Давайте просто зробимо математику. Ми квадрат і ліквідувати # s # яка переважно служить для приховування #16# і важливу факторизацію. Можливо, ви захочете спробувати самі.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (+ b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Це вже набагато краще, ніж форма Герона. Ми зберігаємо фракцію до кінця і більше не дивуємося про сенс півпіриметра.

Вироджується випадок. Коли один з цих факторів зі знаком мінус дорівнює нулю, тоді дві сторони складають точно іншу сторону. Це відстані між трьома колінеарними точками, виродженим трикутником, і ми отримуємо нульову область. Має сенс.

The # a + b + c # фактор цікавий. Те, що вона говорить нам, що ця формула все ще працює, якщо ми використовуємо переміщення, довжини підписів, а не всі позитивні.

Формула досі незручна для використання даних координат. Розмножимо його; ви можете спробувати самі;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c) ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Ця форма залежить тільки від квадратів довжин. Це явно повністю симетричне. Ми можемо вийти за межі Герона зараз і сказати, якщо довжини в квадрат раціональні, так само і квадратичні.

Але ми можемо зробити краще, якщо відзначимо

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2)) #

Віднімання,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Це найкраща форма.

Є форма, що виглядає асиметрично, що зазвичай є найбільш корисною. Відзначимо

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Додавання цього до

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Це найбільш корисна форма. Є три способи її написання, обмін сторонами.

Колективно вони називаються теоремою Архімеда, з раціональної тригонометрії NJ Wildberger.

Коли дається 2D координати, часто Формула Шнурка є найшвидшим шляхом до області, але я збережу це для інших постів.