Коріння {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 такі, що кожен x_i = 1. Як ви довести, що, якщо b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. В іншому випадку b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

$Коріння {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 такі, що кожен x_i = 1. Як ви довести, що, якщо b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. В іншому випадку b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?$

Відповідь:

Натомість відповідь # {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + -1)} # і відповідні рівняння # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 і x ^ 6 + -1 = 0..

Пояснення:

Гарна відповідь від Cesereo R дозволила мені змінити

Моя попередня версія, щоб зробити мою відповідь добре.

Форма # x = r e ^ (i theta) # може представляти як реальні, так і складні

коріння. У випадку реальних коренів x, r = | x |. Давайте продовжимо.

У цій формі, при r = 1, рівняння розбивається на два рівняння, #cos 6theta + a cos 3theta + b = 0 # …(1)

# sin 6 theta + a sin 3 theta = 0 #… (2)

Для того, щоб бути впевненими, оберіть (3) спочатку та використовуйте #sin 6theta = 2 sin 3theta cos 3theta #. Це дає

#sin 3theta (2 cos 3theta + a) = 0 #, з рішеннями

#sin 3theta = 0 до тета = k / 3pi, k = 0, + -1, + -2, + -3, … # …(3)

# cos 3theta = -a / 2 до тета = (1/3) (2kpi + -cos ^ (- 1) (- a / 2)) #, з k, як і раніше. … (4) t

Ось, # | cos 3theta | = | -a / 2 | <= 1 до a в -2, 2 # … (5)

(3) зменшує (1) до

# 1 + -a + b = 0 # … (6)

Використання #cos 6theta = 2 cos ^ 2 3theta-1 #, (4) зменшує (1) до

# 2 (-a / 2) ^ 2-1-a ^ 2/2 + b = 0 до b = 1 #… (7)

Тепер, з (6), # a = + -2 #

Отже, значення (a, b) дорівнюють (+ -2, 1).

Відповідні рівняння є # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 і (x ^ 6 + 1) = 0 #

Проте, це не цілком підсумовується з набором значень Кесарео для (a,). Я думаю, що мені доведеться переглянути свою відповідь знову. 1. Легко перевірити це # (a, b) = (0, -1) #є рішенням і відповідним рівнянням є # x ^ 6-1 = 0 #, з двома справжніми коріннями #+-1#. Ось, # 6 тета = (4k-1) pi та cos 6theta = -1 #, і так, (6) стає b = 1, коли a = 0 також. Ви на 100% праві, Чезарео. Дякую.

Повна відповідь наведена у вікні відповіді.

Примітка: Це ще одна пропозиція, але я б згадав і зробив заяву про те, як я встановив нерівність у цьому питанні, якомога раніше.

На жаль, моє писання на цю тему пішло в контейнер для сміття. Якщо ця відповідь правильна, але не це, я # regret # за те ж саме. Я повинен змінити питання для цієї відповіді. Я думаю, що швидко, але не типу, синхронно з мисленням. Помилки легко вбудовуються в мої думки.

Я сподіваюся, що нейрофізики підтримають моє пояснення, що стосується внесення помилок у нашу важку роботу.

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

Припустимо, що # {a, b} у RR # ми маємо це #b = pm1 #

оскільки #b = Pix_i #. Тепер робимо #y = x ^ 3 # ми маємо

# y ^ 2 + aypm1 = 0 # і рішення для # y #

#y = - (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1)) # але

# absy = abs (- (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1))) = 1 #

Рішення для # a # ми маємо # a = {0, -2,2} #

Рівняння # x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 # еквівалентно одній з можливостей

# x ^ 6 + a_0x ^ 3 + b_0 = 0 #

# a_0 = {- 2,0,2} #

# b_0 = {- 1,1} #