Питання # 90cf3 + Приклад

Відповідь:

Щоб знайти коріння рівнянь # e ^ x = x ^ 3 #Я рекомендую використовувати метод рекурсивного чисельного аналізу, який називається методом Ньютона

Пояснення:

Давайте зробимо приклад.

Щоб скористатися методом Ньютона, ви пишете рівняння у вигляді #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

Обчислити #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Оскільки метод вимагає, щоб ми виконували однакові обчислення багато разів, поки вони не зближуються, я рекомендую використовувати таблицю Excel; решта моєї відповіді буде містити інструкції, як це зробити.

Введіть хороше припущення для x у клітинку A1. Для цього рівняння введу 2.

Введіть у стільницю А2 наступне:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Зверніть увагу, що вищезгадана мова для електронної таблиці Excel

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Скопіюйте вміст комірки A2 до A3 через A10. Після лише 3 або 4 рекурсій можна побачити, що метод сходився

#x = 1.857184 #

Відповідь:

Ми можемо використовувати теорему проміжного значення, щоб побачити, що кожна пара має принаймні одну точку перетину.

Пояснення:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # безперервний по всій реальній лінії.

У # x = 0 #, ми маємо #f (0) = 1 #.

У # x = -1 #, ми маємо #f (-1) = 1 / e-1 # що є негативним.

# f # є безперервним #-1,0#, так що є хоча б один # c # в #(-1,0)# с #f (c) = 0 #.

#g (x) = e ^ x-x ^ 3 # безперервний по всій реальній лінії.

У # x = 0 #, ми маємо #g (0) = 1 #.

У # x = 2 #, ми маємо #g (2) = e ^ 2-8 # що є негативним.

(Примітка # e ^ 2 ~~ 2,7 ^ 2 <7,3 <8 #.)

# g # є безперервним #0,2#, так що є хоча б один # c # в #(0,2)# с #g (c) = 0 #.