Питання # 53a2b + Приклад

Відповідь:

Це визначення відстані інваріантно до зміни інерціального кадру і тому має фізичний сенс.

Пояснення:

Простір Мінковського побудований як 4-мірний простір з параметрами координат # (x_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, де ми зазвичай говоримо # x_0 = ct #. В основі спеціальної теорії відносності лежать перетворення Лоренца, які є перетвореннями з одного інерціального кадру в інший, які залишають інваріантну швидкість світла. Я не буду вдаватися до повного виведення перетворень Лоренца, якщо ви хочете, щоб я пояснив це, просто запитайте, і я піду більш детально.

Важливим є наступне. Коли ми дивимося на Евклідовий простір (простір, в якому ми маємо звичайне визначення довжини, до якої ми звикли # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), ми маємо певні перетворення; просторові обертання, переклади та дзеркальні зображення. Якщо розрахувати відстань між двома точками в різних системах відліку, пов'язаних цими перетвореннями, то будемо вважати, що відстань буде однаковою. Це означає, що евклідова відстань інваріантна до цих перетворень.

Тепер ми розширимо це поняття до 4-мірного простору-часу. Перед теорією спеціальної відносності Ейнштейна ми з'єднали інерційні кадри перетвореннями Галілея, які просто замінили просторову координату. # x_i # від # x_i-v_it # для #iin {1,2,3} # де # v_i # - швидкість спостерігача в # i # напрямок відносно вихідного кадру. Ця трансформація не залишала інваріантної швидкості світла, але вона залишала відстань, викликану елементом лінії # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, просто тому, що немає ніякої зміни в координаті часу, тому час є абсолютним.

Однак перетворення Галілея не точно описує перетворення одного інерціального кадру в інший, тому що ми знаємо, що швидкість світла інваріантна при належних перетвореннях координат. Тому ми ввели перетворення Лоренца. Евклідова відстань, що розширюється до 4-дім-простору-часу, як це зроблено вище, не інваріантна до цього перетворення Лоренца, проте відстань, індукована # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # є, яку ми називаємо належною відстанню. Отже, незважаючи на те, що ця евклідова відстань, де має місце теорема Піфагора, є цілком пристойною математичною структурою на 4-му димному просторі, вона не має жодного фізичного сенсу, оскільки вона залежить від спостерігача.

Належне відстань не залежить від спостерігача, тому ми можемо надати йому фізичний сенс, це робиться шляхом приєднання дуги довжини світового ряду через простір Мінковського, використовуючи цю відстань до пройденого часу, що спостерігається об'єктом, що рухається по цій світовій лінії. Зауважимо, що якщо ми залишимо час фіксованим, теорема Піфагора все ще зберігається в просторових координатах.

РЕДАГУВАТИ / ДОДАТКОВЕ ПОЯСНЕННЯ:

Оригінальний запитувач цього питання попросив мене детальніше детально роз'яснити, він написав: «Спасибі. Але, будь ласка, поясніть останні два пункти трохи більше. # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 #. Прохання пояснити: "По суті, те, що ми маємо тут, є двовимірною версією того, що я описав вище. Ми маємо опис простору-часу з одним часом і одним просторовим виміром. На цьому ми визначаємо відстань, точніше норму (відстань від походження до точки) # s # за допомогою формули # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 # де # x # є просторовою координатою і # t # тимчасова координата.

Те, що я зробив вище, було тривимірною версією цього, але, що ще важливіше, я використовував # (ds) ^ 2 # замість # s ^ 2 # (Я додав дужки для з'ясування того, що у квадраті). Не вдаючись у деталі диференціальної геометрії занадто багато, якщо у нас є лінія, що з'єднує дві точки в просторі, # ds # є довжиною крихітного шматка лінії, так званого елемента лінії. Через 2D версію того, що я писав вище, ми маємо # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, яка пов'язує довжину цього крихітного шматочка з крихітним зміною координат. Для обчислення відстані від початку до точки # x_0 = a, x_1 = b # у просторі-часу ми обчислюємо довжину прямої лінії, що йде від початку до цієї точки, даної лінії # x_0 = a / bx_1 # де # x_1in 0, b #Відзначимо, що # dx_0 = a / bdx_1 #, тому # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, тому # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, яку ми можемо інтегрувати, даючи # s = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

Тому # s ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # в # (t, x) # координати.

Отже, те, що я писав вище, дає те, що ви читаєте в книзі. Проте версія лінійного елемента дозволяє обчислити довжину будь-якої лінії, а не просто прямі. Історія про перетворення Лоренца досі зберігається, ця норма # s # інваріантна при зміні опорного кадру, в той час як # x ^ 2 + (ct) ^ 2 # не.

Те, що теорема Піфагора не виконується, не є дивовижною. Теорема Піфагора зберігається в евклідовій геометрії. Це означає, що простір, в якому ви працюєте, є плоским. Прикладом просторів, які не є плоскими, є поверхня сфери. Коли ви хочете знайти відстань між двома точками на цій поверхні, ви берете довжину найкоротшого шляху по цій поверхні, що з'єднує ці дві точки. Якщо б ви побудували на цій поверхні правий трикутник, який виглядав би дуже відрізнявся від трикутника в евклідовому просторі, оскільки рядки не були б прямими, теорема Піфагора взагалі не виконується.

Іншою важливою особливістю евклідової геометрії є те, що коли ви ставите систему координат на цей простір, кожна координата виконує ту ж роль. Ви можете обертати осі і закінчити з тією ж геометрією. У геометрії Мінковського вище не всі координати мають однакову роль, оскільки осі часу мають знак мінуса в рівняннях, а інші не мають. Якщо цього знаку мінус не було, час і простір мали б аналогічну роль у просторі-часу або, принаймні, в геометрії. Але ми знаємо, що простір і час не збігаються.