Як перетворити r = 7 / (5-5costheta) у прямокутну форму?

Відповідь:

Це бокова парабола # 70 x = 25 y ^ 2 - 49. #

Пояснення:

Це цікаво, тому що він просто розходяться; мінімум знаменника дорівнює нулю. Це конічна секція; тільки розходяться я думаю робить це parabola. Це не має великого значення, але це говорить нам, що ми можемо отримати гарну алгебраїчну форму без функцій тригерів або квадратних коренів.

Найкращий підхід - це повернення назад; ми використовуємо полярні прямокутні заміни, коли здається, що інший шлях буде більш прямим.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

Тому # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 тета + sin ^ 2 тета) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Ми бачимо #r> 0. # Почнемо з очищення дробу.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

У нас є #r cos theta # так що # x. #

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

Наше перше спостереження було #r> 0 # так що квадрат є нормальним.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Тепер ми знову підміняємо.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Технічно ми відповіли на це питання і ми могли зупинитися тут. Але є ще алгебра, і, сподіваюся, нагорода в кінці: можливо, ми можемо показати, що це насправді парабола.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25 x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

графік {x = 1/70 (25y ^ 2 - 49) -17.35, 50, -30, 30}

Так, це парабола, повернута # 90 ^ #від звичайної орієнтації.

Перевірте: Alpha eyball