Функціональна тривала фракція (FCF) експоненціального класу визначається a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) , a> 0. Після встановлення a = e = 2.718281828 .., як ви докажете, що e_ (cf) (0.1; 1) = 1.880789470, майже?

Відповідь:

Див. Пояснення …

Пояснення:

Дозволяє #t = a_ (cf) (x; b) #

Потім:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …))))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #

Іншими словами, # t # є фіксованою точкою відображення:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

Зверніть увагу, що саме # t # будучи фіксованою точкою #F (t) # цього недостатньо, щоб довести це #t = a_ (cf) (x; b) #. Можливі нестабільні та стабільні фіксовані точки.

Наприклад, #2016^(1/2016)# є фіксованою точкою #x -> x ^ x #, але не є рішенням # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Рішення немає).

Проте, розглянемо #a = e #, #x = 0,1 #, #b = 1.0 # і #t = 1.880789470 #

Потім:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0.1 + 1 / 1.880789470) #

# ~ ~ e ^ (0.1 + 0.5316916199) #

# = e ^ 0.6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~~ t #

Так це значення # t # дуже близько до фіксованої точки #F_ (a, b, x) #

Щоб довести, що вона стабільна, розглянемо похідну поблизу # t #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0,1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) #

Тому ми знаходимо:

#F '_ (e, 1,0,1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0,5316916199 #

Оскільки це є негативним і абсолютним значенням менше #1#, фіксована точка в # t # є стабільним.

Також зверніть увагу, що для будь-якого ненульового реального значення # s # ми маємо:

#F '_ (e, 1,0,1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) <0 #

Це #F_ (e, 1,0,1) (s) # строго монотонно зменшується.

Звідси # t # є унікальною стабільною фіксованою точкою.

Відповідь:

Контрактивна поведінка.

Пояснення:

С #a = e # і #x = x_0 # ітерація слідує як

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # а також

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

Дослідимо умови скорочення оператора ітерації.

Підтягування обох сторін

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

але в першому наближенні

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

або

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} прибл. -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #

Щоб мати скорочення, яке нам потрібно

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

Це досягається, якщо

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Припустимо #b> 0 # і #k = 1 # ми маємо.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

Так дано # x_0 # і # b # ця взаємозв'язок дозволяє знайти початкову ітерацію під час контрактивного поведінки.