Що є найшвидшим і найпростішим методом розв'язання кубічних і квартічних рівнянь (без поліноміального калькулятора)?

Відповідь:

Це залежить…

Пояснення:

Якщо кубічний або кварцевий (або будь-який інший поліноміальний ступінь) має раціональні корені, то теорема про раціональні корені може бути найшвидшим способом їх знайти.

Правило знаків Декарта також може допомогти визначити, чи має поліноміальне рівняння позитивні або негативні корені, тому допоможе звузити пошук.

Для кубічного рівняння може бути корисно оцінити дискримінант:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Якщо #Delta = 0 # потім кубік має повторюваний корінь.

• Якщо #Delta <0 # тоді кубік має один реальний корінь і два нереальних комплексних кореня.

• Якщо #Delta> 0 # тоді кубік має три реальних кореня.

Якщо #Delta = 0 # тоді кубік поділяє фактор з його похідною, тому ви повинні бути в змозі знайти їх загальний фактор, обчисливши поліном GCF.

В іншому випадку, можливо, корисно використовувати трансформацію Tschirnhaus для виведення a пригнічений кубічний перед тим, як продовжувати, не виконуватиметься жодного квадрата.

Якщо кубік має один реальний корінь і два нереальних, то я б рекомендував метод Кардано.

Якщо він має три справжні корені, то я б рекомендував замість цього тригонометричну заміну.

Для quartics, ви можете отримати депресивний quartic з не куб термін заміна, як #t = x + b / (4a) #.

Якщо результуючий квартік також не має лінійного терміна, то він є квадратичним # x ^ 2 #. Ви можете вирішити це як квадратичне і взяти квадратні корені, або скористатися факторизацією форми:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

З цього можна знайти квадратичні фактори для вирішення.

Якщо результуючий квартік має лінійний член, то він може бути включений у форму:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Прирівнюючі коефіцієнти і використання # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, ви можете отримати кубічний дюйм # a ^ 2 #. Таким чином, ви можете знайти можливі значення для # a #, # b # і # c #. Потім знайдемо нулі квадратичних факторів.

Є й інші особливі випадки, але це грубо охоплює його.