Як вирішити це рівняння?

Як вирішити це рівняння?
Anonim

Відповідь:

"Переглянути пояснення"

Пояснення:

# "Спочатку застосуйте теорему раціональних коренів, щоб знайти раціональні корені".

# "Ми знаходимо" x = 1 "як раціональний корінь."

# "Так" (x-1) "є фактором.

3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2)

# "У нас залишилося кубічне рівняння, яке не має раціональних коренів".

# "Ми можемо її вирішити заміною методу Vieta."

x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0

# "Замінити" x = y + 2/9 ".

y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0

# "Замінити" y = (sqrt (22) / 9) z ".

z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0

# "Замінити" z = t + 1 / t ".

t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0

"Підставляючи" u = t ^ 3 ", дає квадратичне рівняння:"

u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0

# "Корінь цього квадратичного рівняння є u = 5.73717252."

"Підставляючи змінні назад, дає:"

t = root (3) (u) = 1.79019073

z = 2.34879043.

y = 1.22408929.

x = 1.44631151.

"Інші корені складні:"

# -0.38982242 pm 0.55586071 i.

"(Їх можна знайти, розділивши" (x-1.44631151))

Відповідь:

Раціональним реальним нулем є x = 1 .

Тоді існує ірраціональний реальний нуль:

x_1 = 1/9 (2 + корінь (3) (305 + 27sqrt (113)) + корінь (3) (305-27sqrt (113)))

і пов'язані з ними нереальні комплексні нулі.

Пояснення:

Дано:

3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0

Зауважимо, що сума коефіцієнтів є 0.

Це: 3-5+2 = 0

Тому ми можемо зробити висновок x = 1 є нулем і (x-1) фактор:

0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2

color (білий) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2)

Залишився кубічний трохи складніше …

Дано:

f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2

Трансформація Цірнхауса

Щоб зробити завдання розв'язання кубічної простіше, ми зробимо кубік простішим, використовуючи лінійне заміщення, відоме як трансформація Цирнхауса.

0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486

= (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610

= t ^ 3-66t-610

де t = (9x-2)

Метод Кардано

Ми хочемо вирішити:

t ^ 3-66t-610 = 0

Дозволяє t = u + v .

Потім:

u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (ув-22) (u + v) -610 = 0

Додайте обмеження v = 22 / u для усунення (u + v) термін і отримати:

u ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0

Помножте через u ^ 3 і трохи переставити, щоб отримати:

(u ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0

Використовуйте квадратичну формулу, щоб знайти:

u ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1)

= (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2

= (610 + -sqrt (329508)) / 2

= (610 + -54sqrt (113)) / 2

= 305 + -27sqrt (113)

Оскільки це Real, то виведення є симетричним у Росії u і v , ми можемо використовувати один з цих коренів для u ^ 3 а інший для v ^ 3 знайти справжній корінь:

t_1 = root (3) (305 + 27sqrt (113)) + корінь (3) (305-27sqrt (113))

та відповідні комплексні корені:

t_2 = омега корінь (3) (305 + 27sqrt (113)) + омега ^ 2 корінь (3) (305-27sqrt (113))

t_3 = omega ^ 2 root (3) (305 + 27sqrt (113)) + омега корінь (3) (305-27sqrt (113))

де omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i є примітивним кубичним корінцем комплекса 1.

Тепер x = 1/9 (2 + t) . Отже, коріння нашого оригінального кубіку:

x_1 = 1/9 (2 + корінь (3) (305 + 27sqrt (113)) + корінь (3) (305-27sqrt (113)))

x_2 = 1/9 (2 + корінь омеги (3) (305 + 27sqrt (113)) + омега ^ 2 корінь (3) (305-27sqrt (113)))

x_3 = 1/9 (2 + омега ^ 2 корінь (3) (305 + 27sqrt (113)) + корінь омеги (3) (305-27sqrt (113)))