Як оцінити cos (pi / 5) без використання калькулятора?

Відповідь:

Cos (# pi # / 5) = cos 36 ° = (# sqrt #5 + 1)/4.

Пояснення:

Якщо # theta # = # pi #/ 10, потім 5# theta # = # pi #/2 #=># cos3# theta # = sin2# theta #. cos (# pi # /2 - # alpha #) = гріх# alpha #}.

#=># 4# cos ^ 3 # # theta # - 3cos# theta # = 2sin# theta #cos# theta ##=># 4 # cos ^ 2 ## theta # - 3 = 2 гріх # theta #.

#=># 4 (1 - # sin ^ 2 # # theta #) - 3 = 2 гріх# theta #. #=># 4# sin ^ 2 # # theta #+ 2sin# theta # - 1 = 0#=>#

гріх# theta # =(# sqrt # 5 - 1) /4.

Тепер cos 2# theta # = cos # pi #/5 = 1 - 2# sin ^ 2 # # theta #, дає результат.

Відповідь:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Пояснення:

Дозволяє #a = cos (pi / 5) #, #b = cos (2 * pi / 5) #. Таким чином #cos (4 * pi / 5) = -a #. З формул подвійного кута:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

Віднімання, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# a + b # не є нулем, оскільки обидва терміни є позитивними, тобто # a-b # повинно бути #1/2#. Потім

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

і єдиним позитивним коренем є

#a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

І #b = cos (2 * pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.