Який найкращий спосіб знайти sqrt (13) без використання калькулятора?

Відповідь:

Я запропонував метод Ньютона, хоча я не готовий стверджувати, що це простіше, ніж здогадуватися і перевіряти, а потім відрегулювати припущення.

Пояснення:

Метод Ньютона є ітеративним методом апроксимації. (Це працює через обчислення, але це питання розміщено в алгебрі, так що давайте залишимо це самостійно.)

Зробіть перше наближення. У вашому прикладі, скажімо # x_1 = 3 #

Наступним наближенням є: # x_2 = 1/2 (13 / x_1 + x_1) #

Іншими словами, розділити #13# поточним наближенням і середнім, що з вашим останнім наближенням.

Знаючи # x_n #, ми знайшли #x_ (n + 1) # від:

#x_ (n + 1) = 1/2 (13 / x_n + x_n) #

Таким чином ми отримуємо: # x_1 = 3 #

Знайти # x_2 #:

#13/3 = 4.33#

Середнє значення нашого поточного наближення, #3# і коефіцієнт #4.33# є #3.67#

Тому # x_2 = 3.67 #

Знайти # x_3 #:

#13/3.67 = 3.54#

Середнє значення нашого поточного наближення, #3.67# і коефіцієнт #3.54# є #3.61#

Тому # x_3 = 3.61 #

Так, колись робили розрахунки.

Відповідь:

Існує (можливо, не дуже відомий) метод пошуку квадратного кореня з числа, який я спробував продемонструвати нижче.

Пояснення:

Почніть так, ніби ви налаштовуєте довге поділ (але зверніть увагу на відсутність дільника). Число ділиться на блоки з 2 цифр з такою кількістю пар нулів після десяткової крапки, як ви хочете написати. Десяткова крапка повинна бути записана безпосередньо над десятковою крапкою числа, для якого ви намагаєтеся знайти квадратний корінь (я, здається, втратив мій).

Визначте найбільшу цифру, квадрат якої не перевищує першу цифрову пару значення, з яким ви працюєте, і введіть їх, як зазначено нижче

Помножте число над лінією на число ліворуч від вертикальної лінії і відняйте цей продукт від значення, що знаходиться над нею.

Скопіюйте наступну пару цифр як суфікс до попереднього залишку.

Подвоїть значення над лінією та дозвольте цифру суфіксу (отже, у цьому випадку 3 стає дещо між 60 і 69, але ще не визначено).

Визначте найбільшу цифру, яка при використанні в якості цифри суфікса ліворуч і потім використовується для множення результуючого значення не більше робочого значення (у цьому випадку не більше 400).

Помножити, відняти, збити наступну пару цифр.

Подвоїть значення згори і напишіть простір для цифри суфіксу ліворуч від робочої області.

Продовжити процес, як зазначено нижче:

Будь ласка; якщо хтось може надати більш просте пояснення, як працювати з цим процесом, будь ласка, зробіть це.

Відповідь:

Замість того, щоб писати довгий коментар до Джима, ось «інша» відповідь.

Знайти #sqrt (n) #, повторіть наближення за допомогою:

#a_ (i + 1) = a_i + (n - a_i ^ 2) / (2a_i) #

Пояснення:

Я зазвичай використовую це з "неправильними" дробами, щоб отримати послідовність наближень, зупиняючись, коли я думаю, що у мене є достатньо значних цифр, а потім довго ділять результуючі цілі числа.

Крім того, якщо я хочу лише квадратний корінь до 4 значущих цифр або близько того, я починаю з розумного двозначного наближення і виконую один або два кроки.

Я намагаюся запам'ятати квадрати #2# цифрами також. Так у випадку з #13# Я повинен це пам'ятати #36^2 = 1296# досить близький #1300#, тому #36# добре наближається #sqrt (1300) #.

Наступним наближенням буде #36 + 4/72 = 36 + 1/18 ~= 36.056#

Звідси #sqrt (13) ~ = 3.6056 #