Яка відстань між (0, 0, 8) і (9, 2, 0)?

Відповідь:

Відстань #sqrt (149) #

Пояснення:

Відстань між двома точками

# (x_1, y_1, z_1) #

і

# (x_2, y_2, z_2) #

в # RR ^ 3 # (три виміри) задається

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Застосовуючи його до задачі, ми отримуємо відстань між ними #(0, 0, 8)# і #(9, 2, 0)# як

# "distance" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

Нижче наводиться пояснення щодо того, звідки йде формула відстані, і вона не є необхідною для розуміння вищезазначеного рішення.

Наведена вище формула відстані виглядає підозріло схожою на формулу відстані в # RR ^ 2 # (два розміри):

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

що випливає з простого застосування теореми Піфагора, малюючи правий трикутник між двома точками з паралельними ногами # x # і # y # осей.

Виявляється, # RR ^ 3 # Версію можна вивести подібним чином. Якщо ми використовуємо (максимум) 3 лінії для з'єднання двох точок, йдемо паралельно # x #, # y #, і # z # осей, ми отримуємо коробку з точками як протилежні кути. Отже, давайте зрозуміємо, як розрахувати відстань по діагоналі коробки.

Ми намагаємося з'ясувати довжину червоної лінії #color (червоний) (AD) #

Оскільки це гіпотенуза трикутника # ABD #, з теореми Піфагора:

# (колір (червоний) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (колір (синій) (BC)) ^ 2 #

# => колір (червоний) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (колір (синій) (BC)) ^ 2) "(i)" #

На жаль, у нас немає довжини #color (синій) (BD) # як дане. Щоб отримати його, ми повинні знову застосувати теорему Піфагора, на цей раз до трикутника # BCD #.

# (колір (синій) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Оскільки нам потрібна тільки площа квадрата #color (синій) (BD) #, ми можемо зараз замінити # ("ii") # в # ("i") #:

#color (червоний) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Нарешті, якщо у нас є # A # в # (x_1, y_1, z_1) # і # D # в # (x_2, y_2, z_2) #, тоді ми маємо довжини

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Підставляючи їх у вищезазначене, ми отримуємо бажаний результат.

Як додаткове зауваження, хоча ми можемо легко робити геометричні докази в трьох вимірах, математики мають узагальнену відстань у # RR ^ n # (# n # розміри). Відстань між ними

# (x_1, x_2, …, x_n) # і # (y_1, y_2, …, y_n) # визначається як

#sqrt (сума_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

яка відповідає шаблону # RR ^ 2 # і # RR ^ 3 #.