Як використовувати біноміальну формулу для розширення [x + (y + 1)] ^ 3?

Відповідь:

# x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #

Цей біном має вигляд # (a + b) ^ 3 #

Розширюємо біноміал, застосовуючи цю властивість:

# (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

Де в даному біноміальному # a = x # і # b = y + 1 #

Ми маємо:

# x + (y + 1) ^ 3 = #

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 # зауважте, як (1)

У вищенаведеному розкладі ми ще маємо два біноміали для розширення

# (y + 1) ^ 3 # і # (y + 1) ^ 2 #

Для # (y + 1) ^ 3 # ми повинні використовувати вищевказану власність куба

Тому # (y + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #. Примітка: (2)

Для # (y + 1) ^ 2 # ми повинні використовувати квадрат з суми, яка говорить:

# (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Тому # (y + 1) ^ 2 = y ^ 2 + 2y + 1 #. Примітка: (3)

Підставляючи (2) і (3) у рівняння (1), маємо:

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 #

# = x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y ^ 2 + 2y + 1) + (y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1) #

# = x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3x ^ 2 + 3xy ^ 2 + 6xy + 3x + y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #

Ми повинні додати подібні терміни, але в цьому поліномі ми не маємо однакових термінів, ми можемо упорядкувати терміни.

Таким чином, # x + (y + 1) ^ 3 = x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #