Тіло було знайдено в 10:00 на складі, де температура становила 40 ° F. Медичний експерт визнав температуру тіла 80 ° F. Яким був приблизний час смерті?

Відповідь:

Приблизний час смерті #8:02:24# am.

Важливо відзначити, що це температура шкіри тіла. Медичний експерт буде вимірювати внутрішню температуру, яка зменшуватиметься значно повільніше.

Пояснення:

Закон охолодження Ньютона говорить про те, що швидкість зміни температури пропорційна різниці до температури навколишнього середовища. Тобто

# (dT) / (dt) опора T - T_0 #

Якщо #T> T_0 # тоді організм повинен охолоджуватися, щоб похідна була негативною, тому вставляємо постійну пропорційність і отримуємо

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Розмножуючи квадратну дужку та змінюючи інформацію про нас, ми отримуємо:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Можна тепер використовувати інтегруючий факторний метод вирішення ОДУ.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Помножте обидві сторони на #I (x) # отримати

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Зверніть увагу, що за допомогою правила продукту ми можемо переписати LHS, залишивши:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Інтегрувати обидві сторони до # t #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Розділіть на # e ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Середня температура тіла людини становить # 98.6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98,6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58.6 #

Дозволяє # t_f # час, коли буде знайдено тіло.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58.6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58,6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58,6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / (0,1947) #

#t_f = 1,96 год.

Так від часу смерті, якщо тіло негайно почало охолоджуватися, знадобилося 1.96 годин, щоб досягти 80 ° F, в який момент він був знайдений.

# 1.96hr = 117.6min #

Приблизний час смерті #8:02:24# am