Як використовувати теорему проміжного значення, щоб переконатися, що існує нуль в інтервалі [0,1] для f (x) = x ^ 3 + x-1?

Відповідь:

У цьому інтервалі рівно 1 нуль.

Пояснення:

Теорема проміжного значення вказує, що для безперервної функції, визначеної на інтервалі # a, b # ми можемо дозволити # c # бути числом з

#f (a) <c <f (b) # і що #EE x у a, b # такий, що #f (x) = c #.

Наслідком цього є те, що якщо ознака #f (a)! = # знак #f (b) # це означає, що має бути #x у a, b # такий, що #f (x) = 0 # оскільки #0# очевидно, між негативами і позитивами.

Отже, давайте перейдемо до кінцевих точок:

#f (0) = 0 ^ 3 + 0 -1 = -1 #

#f (1) = 1 ^ 3 + 1 - 1 = 1 #

# тому # в цьому інтервалі є принаймні один нуль. Щоб перевірити, чи є тільки один корінь, ми дивимося на похідну, яка дає нахил.

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1 #

Ми бачимо це #AA x у a, b, f '(x)> 0 # тому функція завжди зростає в цьому інтервалі - це означає, що в цьому інтервалі є тільки один корінь.