Як спростити root3 (1)?

Відповідь:

#1# або #1^(1/3)# =#1#

Пояснення:

Кубічний корінь 1 такий же, як підняття 1 до потужності #1/3#. 1 до влади нічого ще 1.

Відповідь:

Робота в реальності ми отримуємо #root 3 {1} = 1 #.

Кожне ненульове комплексне число має три кубічні корені, так що там

#root 3 {1} = 1 або -1/2 вечора i sqrt {3} / 2 #

Пояснення:

Якщо ми працюємо в реальних цифрах, ми просто відзначаємо #root 3 {1} = корінь 3 {1 ^ 3} = 1 #. Я припускаю, що мова йде про складні числа.

Одна з дивних речей, які ми дізнаємося, коли ми заглиблюємося в комплексні числа, це функція #f (z) = e ^ {z} # є періодичним. Експоненціальне зростання є своєрідною протилежністю періодичної, тому це несподівано.

Ключовий факт - ідентичність Ейлера в квадраті. Я називаю це Правда ідентичність Ейлера.

# e ^ {2

Показано справжню ідентичність Ейлера # e ^ z # періодичний з періодом # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Ми можемо підняти правдиву ідентичність Ейлера до будь-якої цілої потужності # k #:

# e ^ {2

Що все це має робити з кубічним коренем одного? Це ключ. Вона говорить про наявність незліченної кількості способів написання. Деякі з них мають різні кубічні корені, ніж інші. Саме тому не цілочисельні експоненти дають початок множинним значенням.

Це все велике вітру. Зазвичай, я просто починаю їх, пишу:

# e ^ {2pi k i} = 1 квад # для цілого числа # k #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k) / 3) + i sin (2pi k / 3) #

Останній крок, звичайно, формула Ейлера # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta.

Так як у нас є # 2pi # Періодичність функцій трикутника (що випливає з періодичності експоненціальної і Ейлерової формул) маємо тільки унікальні значення для трьох послідовних # k #s. Давайте оцінюємо це для # k = 0,1, -1 #:

# k #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# k #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# k #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Таким чином, ми отримуємо три значення для кубічного кореня з одного:

#root 3 {1} = 1 або -1/2 вечора i sqrt {3} / 2 #