Який цікавий, корисний, математичний факт ви знаєте, що зазвичай не викладаєте в школі?

Відповідь:

Як оцінити "вежі експонентів", наприклад #2^(2^(2^2))#, і як розробити останню цифру # 2 ^ n, # # ninNN #.

Пояснення:

Для того, щоб оцінити ці "вежі", ми починаємо з вершини і працюємо на шляху вниз.

Тому:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

На подібній, але трохи незв'язаній ноті, я також знаю, як розробити останні цифри #2# підняти до будь-якого природного показника. Остання цифра #2# піднято до чогось завжди цикли між чотирма значеннями: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Отже, якщо ви хочете знайти останню цифру # 2 ^ n #, знайдіть, яке місце воно знаходиться в циклі, і ви будете знати його останню цифру.

Відповідь:

Якщо #n> 0 # і # a # є наближенням до #sqrt (n) #, потім:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

де #b = n-a ^ 2 #

Пояснення:

Припустимо, ми хочемо знайти квадратний корінь деякого числа #n> 0 #.

Далі ми хотіли б, щоб результат був якийсь безперервною фракцією, яка повторюється на кожному кроці.

Спробуйте:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (білий) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (білий) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Відняти # a # з обох кінців отримувати:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Помножте обидві сторони на #sqrt (n) + a # отримати:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Так якщо # a ^ 2 # трохи менше # n #, потім # b # буде невеликим, а тривала дріб буде швидше зближуватися.

Наприклад, якщо у нас є # n = 28 # і вибрати # a = 5 #, тоді ми отримуємо:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Тому:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …))))) #

що дає наближення:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5.3

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5,29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

Калькулятор говорить мені #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Отже, це не дуже швидко.

Альтернативно, ми можемо поставити # n = 28 # і # a = 127/24 # знайти:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Тому:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…)))

наближення:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467

Це набагато швидше.

Відповідь:

Наближення до квадратних коренів можна знайти за допомогою рекурсивно визначеної послідовності.

Пояснення:

#color (білий) () #

Спосіб

Дано ціле додатне число # n # яка не є ідеальною площею:

• Дозволяє #p = floor (sqrt (n)) # - найбільше натуральне число, площа якого не перевищує # n #.

• Дозволяє #q = n-p ^ 2 #

• Визначте послідовність цілих чисел:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "для" i> = 1):} #

Тоді співвідношення між послідовними членами послідовності буде мати тенденцію до # p + sqrt (n) #

#color (білий) () #

Приклад

Дозволяє # n = 7 #.

Потім #p = floor (sqrt (7)) = 2 #, з #2^2=4 < 7# але #3^2 = 9 > 7#.

Потім # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Отже, наша послідовність починається:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

У теорії співвідношення між послідовними термінами має тенденцію # 2 + sqrt (7) #

Давайте подивимося:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Зверніть увагу на це # 2 + sqrt (7) ~~ 4,645751311 #

#color (білий) () #

Як це працює

Припустимо, що ми маємо послідовність, визначену заданими значеннями # a_1, a_2 # і правило:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

для деяких констант # p # і # q #.

Розглянемо рівняння:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Корені цього рівняння:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Потім будь-яка послідовність з загальним терміном # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # буде задовольняти вказане правило повторення.

Наступне вирішення:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

для # A # і # B #.

Ми знайшли:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

і отже:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Так з цими значеннями # x_1, x_2, A, B # ми маємо:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Якщо #q <3p ^ 2 # потім #abs (x_2) <1 # і співвідношення між послідовними термінами буде прагнути # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Відповідь:

Модульне поділ

Пояснення:

Модульне поділ подібне до поділу, за винятком того, що відповідь залишається замість фактичного значення. Замість того, щоб #-:#, ви використовуєте #%# символ.

Наприклад, зазвичай, якщо ви повинні були вирішити #16-:5# ви отримаєте #3# залишок #1# або #3.2#. Однак, використовуючи модульне поділ, #16%5=1#.

Відповідь:

Оцінка квадратів з підсумовуваннями

Пояснення:

Як правило, ви повинні знати квадрати, такі як #5^2=25#. Однак, коли цифри стають більшими, наприклад #25^2#, стає все важче дізнатися з верхньої частини голови.

Я зрозумів, що через деякий час квадрати - це лише суми непарних чисел.

Я маю на увазі це:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # де # k # є базовим значенням мінус #1#

Тому #5^2# може бути написано так:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Це дасть вам:

#1+3+5+7+9#

Це, по суті, є #25#.

Оскільки числа завжди збільшуються на #2#Я міг би додати перший і останній номер, а потім помножити на # k / 2 #.

Так для #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Так що я можу просто зробити #(49+1)(25/2)# і отримати #25^2# який #625#.

Це не дуже практично, але цікаво знати.

#color (білий) () #

Бонус

Знаючи, що:

# n ^ 2 = переповнення (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n умов" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

дозволяє вирішити деякі проблеми про відмінності квадратів.

Наприклад, які всі рішення в натуральних числах #m, n # з # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Це зводиться до знаходження суми послідовних непарних чисел #40#…

# 40 = переповнення (19 + 21) ^ "середнє значення 20" #

#color (білий) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (білий) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (білий) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = переповнення (7 + 9 + 11 + 13) ^ "середнє значення 10" #

#color (білий) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (білий) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (білий) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #