Y = f (x).Графік, y = f (3x) -2 і y = -f (x-1)?

Відповідь:

Не майте під рукою міліметровий папір - так що я сподіваюся, що опис допоможе!

Пояснення:

Для # y = f (3x) -2 # спочатку стиснути Даний графік вздовж # x # осі на коефіцієнт 3 (так що мінімум лівої руки, скажімо, відбувається при # x = -2 / 3 #), а потім натисніть весь графік вниз на 2 одиниці. Таким чином, новий графік матиме мінімум на #x = -2 / 3 # зі значенням # y = -2 #, максимум на #(0,0)# та інший мінімум на #(4/3, -4)#

Для # y = -f (x-1) # спочатку пересуньте графік 1 одиниці на право, потім переверніть її догори дном! Таким чином, новий графік буде ave два максимуми в #(-1,0)# і #(5,2)# і мінімум на #(1,-2) #

Відповідь:

Ось більш докладне пояснення

Пояснення:

Проблеми є особливими випадками більш загальної проблеми:

Дано графік для # y = f (x) #, що є графіком #y = a f (b x + c) + d # ?

(перший - для # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, другий - для # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Я постараюся пояснити відповідь поступово, вирішуючи проблему на крок за кроком. Відповідь буде досить довгою, але, сподіваюся, загальний принцип буде зрозумілий до кінця.

Для ілюстрації я буду використовувати певну криву, яку я показую нижче, але ідея буде працювати взагалі.

(Якщо хтось зацікавлений, функція, яка тут будується #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Враховуючи графік для # y = f (x) #, що є графіком #y = f (x) + d # ?

Це легко - все, що вам потрібно зробити, це відзначити, якщо # (x, y) # потім точка на першому графіку # (x, y + d) # це точка на другому. Це означає, що другий графік вище від першого на відстань # d # (звичайно, якщо # d # є від'ємним, він нижчий, ніж перший графік # | d | #).

Отже, графік # y = f (x) + 1 # буде

Як бачите, графік для #y = f (x) + 1 # (суцільна фіолетова лінія) отримується шляхом простого натискання на графік # y = f (x) # (сіра пунктирна лінія) вгору на одну одиницю.

Графік для # y = f (x) -1 # можна знайти, натиснувши оригінальний графік вниз на одну одиницю:

2) Враховуючи графік для # y = f (x) #, що є графіком #y = f (x + c) # ?

Легко бачити, що якщо # (x, y) # є точкою на # y = f (x) # Графік, то # (x-c, y) # буде точка на #y = f (x + c) # графік. Це означає, що ви можете отримати графік #y = f (x + c) # з графіка #y = f (x) # просто шляхом перенесення його на зліва від # c # (звичайно, якщо # c # є від'ємним, потрібно змістити оригінальний графік на # | c | # направо.

Як приклад, графік для # y = f (x + 1) # можна знайти, натиснувши вихідний графік на зліва на одну одиницю:

поки що для # y = f (x-1) # включає натискання вихідного графіка на право на одну одиницю:

3) Враховуючи графік для # y = f (x) #, що є графіком #y = f (bx) # ?

З #f (x) = f (b разів x / b) # звідси випливає, що якщо # (x, y) # є точкою на #y = f (x) # Графік, то # (x / b, y) # є точкою на # y = f (bx) # графік.

Це означає, що оригінальний графік має бути стиснув на коефіцієнт # b # уздовж # x # осі. Звичайно, стискаючи # b # дійсно є розтягування від # 1 / b # для випадку, де # 0 <b <1 #

Графік для # y = f (2x) # є

Зауважимо, що в той час як висота залишається тією ж на 1, ширина стискається в 2 рази. Зокрема, пік вихідної кривої змістився з # x = 1 # до # x = 1/2 #.

З іншого боку, графік для # y = f (x / 2) # є

Зауважте, що цей графік удвічі ширше (стискаючи #1/2# будучи такими ж, як розтягування в 2 рази, і пік також перемістився з # x = 1 # до # x = 2 #.

Особливо слід згадати той випадок, де # b # є негативним. Найкраще, можливо, потім думати про це як про два етапи

• Спочатку знайдіть графік # y = f (-x) #, і потім
• стисніть отриманий графік за # | b | #

Зверніть увагу, що для кожної точки # (x, y) # вихідного графа, точка # (- x, y) # є точкою на графіку # y = f (-x) # - отже, новий графік можна знайти, відображаючи старий графік # Y # осі.

Як ілюстрацію двох етапів розглянемо графік # y = f (-2x) # показано нижче:

Ось оригінальна крива, що для # y = f (x) # спочатку обертається про # Y # осі, щоб отримати криву для # y = f (-x) # (тонка блакитна лінія). Потім це стискається на коефіцієнт #2# щоб отримати криву для # y = f (-2x) # - товста фіолетова крива.

4) Враховуючи графік для # y = f (x) #, що є графіком #y = af (x) # ?

Те ж саме тут - якщо # (x, y) # тоді точка на початковій кривій # (x, ay) # є точкою на графіку # y = af (x) #

Це означає, що для позитивного # a #, граф розтягується на коефіцієнт # a # уздовж # Y # осі. Знову ж таки, значення # a # між 0 і 1 означає, що замість того, щоб розтягуватися, крива буде фактично стиснута на коефіцієнт # 1 / a # уздовж # Y # осі.

Крива нижче наведена # y = 2f (x) #

Зауважимо, що в той час як пік знаходиться при тому ж значенні # x # - його висота подвоїлася до 2 з 1. Звичайно, це не тільки пік розтягнутий - той # y # Координати кожної точки вихідної кривої подвоїлися, щоб отримати нову криву.

На малюнку нижче показано стискання, яке відбувається, коли #0<>

Знову випадок #a <0 # особливу обережність - і краще, якщо ви зробите це в два етапи

1. Спочатку переверніть криву догори дном # X # осі, щоб отримати криву для # y = -f (x) #
2. Розтягніть криву на # | a | # уздовж # Y # осі.

Крива для # y = -f (x) # є

в той час як на малюнку нижче показано два кроки, пов'язані з малюванням кривої #y = -2f (x) #

Все разом

Тепер, коли ми пройшли індивідуальні кроки, давайте зібрати їх разом! Процедура нанесення кривої для

# y = a f (bx + c) + d #

починаючи з цього # y = f (x) # по суті складається з наступних етапів

1. Графік кривої # y = f (x + c) #: зміщення графіка на відстань # c # зліва
2. Потім побудуємо цю ділянку #y = f (bx + c) #: стисніть криву, яку ви отримаєте з кроку 1 у вікні # X # напрямок фактора # | b | #, (спочатку перевертаючи його про # Y # вісь якщо #b <0 #)
3. Потім побудуємо графік # y = af (bx + c) #: масштабуємо криву, яку ви отримали з кроку 2, на коефіцієнт # a # у вертикальному напрямку.
4. Нарешті натисніть на криву, яку ви отримаєте на кроці 3, на відстань # d # отримати кінцевий результат.

Звичайно, вам потрібно виконати всі чотири кроки лише в крайніх випадках - часто буде робити меншу кількість кроків! Також важлива послідовність кроків.

У випадку, якщо вам цікаво, ці кроки випливають з того, що якщо # (x, y) # є точкою на # y = f (x) # Графік, потім точка

# ({x-c} / b, ay + d) # знаходиться на # y = af (bx + c) + d # графік.

Дозвольте мені проілюструвати процес на прикладі з нашою функцією #f (x) #. Спробуємо побудувати графік для #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Перший - перехід наліво на 3 одиниці

Потім: стиснути на коефіцієнт 2 уздовж # X # осі

Потім, перевертаючи графік, про # X # осі, а потім масштабування в 2 рази # Y #

Нарешті, пересуваючи криву на 1 одиницю, - і ми зробили!