Акорд довжиною 12 проходить від pi / 12 до pi / 6 радіанів по колу. Яка область кола?

Відповідь:

Площа кола

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Пояснення:

Зображення вище відображає умови, поставлені в цій проблемі. Всі кути (збільшені для кращого розуміння) знаходяться в радіанах, які відлічують від горизонтальної осі X. # OX # проти годинникової стрілки.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Для того, щоб визначити його площу, потрібно знайти радіус кола.

Ми знаємо цей акорд # AB # має довжину #12# і кут між радіусами # OA # і # OB # (де # O # є центром кола)

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Побудуйте висоту # OH # трикутника #Delta AOB # від вершини # O # на бік # AB #. З #Delta AOB # є рівнобедрений, # OH # медіана і бісектриса кута:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Розглянемо правий трикутник #Delta AOH #.

Ми знаємо цей катетус # AH = 6 # і кут # / _ AOH = pi / 24 #.

Тому гіпотенуза # OA #, який є радіусом нашого кола # r #, дорівнює

# r = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Знаючи радіус, можна знайти область:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Висловимо це без тригонометричних функцій.

З

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

ми можемо виразити область наступним чином:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Інша тригонометрична ідентичність:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Тому,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Тепер ми можемо представляти площу кола, як

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Відповідь:

Інший підхід такий же результат

Пояснення:

Хорда AB довжини 12 у вищенаведеному малюнку проходить від# pi / 12 # до # pi / 6 # в колі радіуса r і центр O, прийнятий за походженням.

# / _ AOX = pi / 12 # і # / _ BOX = pi / 6 #

Так полярні координати А # = (r, pi / 12) # і B # = (r, pi / 6) #

Застосування формули відстані для полярної координати

довжина хорди AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Отже, область кола

# = pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-квадр (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #