Як довести (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)?

Нам потрібні ці дві ідентичності для завершення доказу:

# tanx = sinx / cosx #

#cos (x / 2) = + - sqrt ((1 + cosx) / 2) #

Я почну з правої сторони, а потім маніпулювати нею, поки не буде виглядати ліва сторона:

# RHS = cos ^ 2 (x / 2) #

#color (білий) (RHS) = (cos (x / 2)) ^ 2 #

#color (білий) (RHS) = (+ - sqrt ((1 + cosx) / 2)) ^ 2 #

#color (білий) (RHS) = (1 + cosx) / 2 #

#color (білий) (RHS) = (1 + cosx) / 2колір (червоний) (* sinx / sinx) #

#color (білий) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) #

#color (білий) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) колір (червоний) (* (1 / cosx) / (1 / cosx)) #

#color (білий) (RHS) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) #

#color (білий) (RHS) = (tanx + sinx) / (2tanx) #

#color (білий) (RHS) = LHS #

Це доказ. Сподіваюся, що це допомогло!

Ми прагнемо довести ідентичність:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

Розглянемо LHS виразу і використовуємо визначення дотичної:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# (sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

(cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) #

# (cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 # t

# (1 + cosx) / 2 # t

Тепер розгляньте RHS та використовуйте ідентифікацію:

# cos2A - = 2кос ^ 2А - 1 #

Надання нам:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) #

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

Таким чином:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) t QED

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (скасувати (tanx) (1 + sinx / tanx)) / (2скасувати (tanx)) #

# = (1 + cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = RHS #