Перестановка лотереї?

Відповідь:

Дивись нижче:

Пояснення:

З перестановкою має значення порядок малювання. Оскільки ми дивимося на розіграші з заміною, кожна цифра має a #1/10# ймовірність витягування. Це означає, що для кожного вибору ми маємо:

# 1 / 10xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 = 1 / (10,000) =. 01% #

ймовірність витягання нашого числа.

Якщо, однак, виникає запитання, що з чотирма намальованими числами вони можуть бути переставлені в будь-яку перестановку, то те, про що ми дійсно говоримо, є комбінаціями (де порядок жеребкування не має значення). Ці комбінації знову робляться з заміною, і тому ми повинні дивитися на кожний випадок окремо.

a

Є #4/10# ймовірність нанесення 6, 7, 8 або 9 на першому жеребку. Тоді a #3/10# ймовірність нанесення одного з решти 3 чисел у другому розіграші. І так далі. Це дає:

# 4 / 10xx3 / 10xx2 / 10xx1 / 10 = (4!) / 10 ^ 4 = 24 / (10 000) =. 24% #.

b

Є #3/10# ймовірність розіграшу або 6,7, або 8 на першому жеребку:

# 3 / 10xx (…) #

Якщо ми виграли 8 на першому жеребку (і є шанс 50% зробити це), то другий, третій і четвертий розіграші будуть на ймовірність # 3/10, 2/10 і 1/10 #.

Проте, інші 50% часу ми будемо малювати або 6, або 7. Якщо ми це зробимо, то нам доведеться дивитися трохи далі для нашого розрахунку:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) +1/2 (…)) #

З другого розіграшу (після малювання 6 або 7), ми можемо намалювати або 8 (що станеться #2/3# часу) або іншим номером, що не є 8 (що станеться іншим #1/3#).

Якщо ми провели 8, то третій і четвертий розіграші будуть на ймовірності в # 2/10 та 1/10 #. Однак, якщо ми намалюємо інший номер, який не є 8, нам потрібно зробити трохи більше роботи:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (2 / 3xx (2 / 10xx1 / 10) + (1/3xx (…)))) #

Для третього і четвертого розіграшу і тільки 8с, що залишилися, є a #1/10# ймовірність накреслення цього як третього і четвертого числа:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (2 / 3xx (2 / 10xx1 / 10) + (1 / 3xx (1 / 10xx1 / 10)))) #

Давайте оцінюємо:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (2 / 3xx (2 / 10xx1 / 10) + (1 / 3xx1 / 100)))

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (4/300 + 1/300)) #

# 3 / 10xx (1 / 2xx (6/1000) +5/600) #

# 3 / 10xx (6/2000 + 5/600) #

# 3 / 10xx (18/6000 + 50/6000) #

# 3 / 10xx68 / 6000 = 68/20000 = 34/10000 =.34% #

c

Є #2/10# ймовірність малювання або 7, або 8:

# 2 / 10xx (…) #

Якщо ми намалювали 7 (50% шанс), то на другому розіграші, якщо ми намалюємо 8 (#2/3# шанс), третій і четвертий розіграші будуть на # 2/10 та 1/10 # ймовірності. Ми маємо таку ж ситуацію, якщо ми перевернемо флоп 7 для 8 і 8 для 7. І так:

# 2 / 10xx (2xx1 / 2xx2 / 3xx2 / 10xx1 / 10 + …) #

Якщо ми намалювали 7 на першому і другому (#1/3# шанс) розіграє, то ми можемо лише зробити 8с для третього і четвертого розіграшу. Знову ж таки, це так, якщо ми притягуємо 8s на першому і другому розіграшах - ми можемо зробити 7s для третього та четвертого розіграшу:

# 2 / 10xx (2xx1 / 2xx2 / 3xx2 / 10xx1 / 10 + 2xx1 / 2xx1 / 3xx1 / 10xx1 / 10) #

І оцініть:

# 2 / 10xx (4/300 + 1/300) = 10/3000 = 0.bar3% #

d

На першому ж розіграші ми можемо лише намалювати 7 або 8, з імовірністю #2/10#:

# 2 / 10xx (…) #

Якщо ми намалювали 7 (a #1/4# шанс), то ми можемо зробити тільки 8с для другого, третього і четвертого розіграшу.

Якщо ми намалюємо 8, ми повинні дивитися далі:

# 2 / 10xx (1 / 4xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 + 3 / 4xx …) #

На другому розіграші (після першого жеребкування 8), ми можемо намалювати або 7, або 8.

Якщо ми намалюємо 7 (#1/3# шанс), третій і четвертий розіграші повинні бути 8s.

Якщо ми проведемо 8, то третій і четвертий розіграші будуть на # 2/10 та 1/10 #:

# 2 / 10xx (1 / 4xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 + 3 / 4xx (1 / 3xx1 / 10xx1 / 10 + 2 / 3xx2 / 10xx1 / 10))

Давайте оцінюємо:

# 2 / 10xx (1 / 4xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 + 3 / 4xx (1/300 + 4/300)) #

# 2 / 10xx (1/4000 + 5/400) #

# 2 / 10xx51 / 4000 = 51/20000 =.255% #