Відповідь:
Вертикальна
# x = 1 #
# x = 3 #
Горизонтальний
# x = 1 # (для обох # + - oo #)
Косий
Не існує
Пояснення:
Дозволяє # y = f (x) #
Знайдіть межі функції, оскільки вона прагне до меж своєї області, крім нескінченності. Якщо їхній результат нескінченність, то це # x # лінія є асимптотою. Тут домен:
#x in (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #
Так 4 можливо вертикальними асимптотами є:
#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #
#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #
#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #
#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #
Асимптота # x-> 1 ^ - #
#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #
# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + оо # Вертикальна асимптота для # x = 1 #
Примітка: для # x-1 # з # x # трохи нижче, ніж 1, результат буде щось трохи нижче 0, тому знак буде негативним, отже, примітка #0^-# що пізніше перетворюється на негативний знак.
Підтвердження асимптоти # x-> 1 ^ + #
#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #
# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # Підтверджено
Асимптота # x-> 3 ^ - #
#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #
# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Вертикальна асимптота для # x = 3 #
Підтвердження асимптоти # x-> 3 ^ + #
#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #
# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + оо # Підтверджено
Знайдіть обидва межі, які функція прагне # + - oo #
Мінус нескінченність #x -> - oo #
#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - оо) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #
# = lim_ (x -> - оо) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - оо) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1) / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #
# = lim_ (x -> - oo) (скасувати (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (скасувати (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^) 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #
#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Горизонтальна асимптота для # y = 1 #
Плюс нескінченність #x -> + oo #
#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #
# = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1) / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #
# = lim_ (x -> + oo) (скасувати (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (скасувати (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^) 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #
#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Горизонтальна асимптота для # y = 1 #
Примітка: так виходить, що ця функція має загальну горизонталь для обох # -оо # і # + oo #. Ви завжди повинні перевіряти обидва.
Спочатку потрібно знайти обидва обмеження:
#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #
Для кожного, якщо це обмеження є дійсним числом, то асимптота існує, а межа - його нахил. The # y # перехоплення кожного - це межа:
#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #
Однак, щоб врятувати нас від неприємностей, можна скористатися певною функцією "знання", щоб уникнути цього. Оскільки ми знаємо #f (x) # має горизонтальну асимптоту для обох # + - oo # єдиний спосіб мати косий має іншу лінію, як #x -> + - oo #. Однак, #f (x) # є #1-1# функція так що не може бути двох # y # значення для одного # x #, отже, друга лінія неможлива, тому неможливо мати косими асимптотами.
