Відповідь:
#3:# # pi / 3 #
Пояснення:
Ми маємо:
#sum_ (n = 0) ^ oosin ^ n (тета) = 2sqrt (3) + 4 #
#sum_ (n = 0) ^ oo (sin (тета)) ^ n = 2sqrt (3) + 4 #
Ми можемо спробувати кожне з цих значень, і подивитися, яке дає # 2sqrt3 + 4 #
#f (r) = sum_ (n = 0) ^ або ^ n = 1 / (1-r) #
#f ((3pi) / 4) - = f (pi / 4) = 1 / (1-sin (pi / 4)) = 2 + sqrt2 #
#f (pi / 6) = 1 / (1-sin (pi / 6)) = 2 #
#f (pi / 3) = 1 / (1-sin (pi / 3)) = 2sqrt3 + 4 #
# pi / 3- = 3 #
Є інший спосіб, використовуючи геометричну прогресію.
Серія # 1 + sintheta + (sintheta) ^ 2 + (sintheta) ^ 3 + …. + oo # які можна записати як
# (sintheta) ^ 0 + sintheta + (sintheta) ^ 2 + (sintheta) ^ 3 + …. + oo # # тому, що "нічого" ^ 0 = 1 #
Наш перший термін прогресії # a = 1 # і загальним співвідношенням між кожним терміном серії є # r = sintheta #
Сума нескінченного ряду Геометричної Прогресії задається:
# S_oo = a / (1-r), r 1 #
Підключення значень
# S_oo = 1 / (1-sintheta) #
Але, # S_oo = 2sqrt3 + 4 # дано.
Тому, # 1 / (1-sintheta) = 2sqrt3 + 4 #
# => 1 / (2sqrt3 + 4) = 1-sintheta #
Раціоналізація знаменника на лівій стороні, # => колір (червоний) ((2sqrt3-4)) / ((2sqrt3 + 4) колір (червоний) ((2sqrt3-4))) = 1-sintheta #
# => (2sqrt3-4) / (12-16) = 1-sintheta # # оскільки (a + b) (a-b) = a ^ 2 + b ^ 2 #
# => - (2sqrt3-4) / 4 = 1-sintheta #
# => - (cancel2sqrt3) / cancel4 ^ 2 + 4/4 = 1-sintheta #
# => -sqrt3 / 2 + cancel1 = cancel1-sintheta #
# => cancel-sqrt3 / 2 = скасувати-sintheta #
# => sqrt3 / 2 = sintheta #
# => theta = sin ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #
# => theta = 60 ° = π / 3 #
Сподіваюся, що це допомагає.:)
