Відповідь:
Переходить до # 1 + i # (на моєму графічному калькуляторі Ti-83)
Пояснення:
Дозволяє # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #
По-перше, припускаючи, що ця нескінченна серія збігається (тобто припускає, що S існує і приймає значення комплексного числа), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
А якщо вирішити для S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
і застосовуючи квадратичну формулу, ви отримуєте:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1
Зазвичай функція квадратного кореня приймає таким чином позитивне значення # S = 1 + i #
Таким чином, якщо він сходиться, то він повинен сходитися # 1 + i #
Тепер все, що вам потрібно зробити, це довести, що він сходиться або якщо ви ліниві, як я, то ви можете підключити #. sqrt {-2} # в калькулятор, який може обробляти уявні числа і використовувати відношення повторення:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Я повторював це багато разів на моєму Ti - 83 і виявив, що він стає ближче, наприклад, після того, як я повторив його десь як 20 разів я отримав приблизно
# 1.000694478 + 1.001394137i #
досить гарне наближення
