Яке з наведеного має максимальне число реальних коренів?

Відповідь:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # с #4# реальні корені.

Пояснення:

Зауважте, що коріння:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

є підмножиною об'єднання коренів двох рівнянь:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):} #

Зауважимо, що якщо одне з цих двох рівнянь має пару дійсних коренів, то так само й інше, оскільки вони мають однаковий дискримінант:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Далі зверніть увагу, що якщо #a, b, c # тоді всі мають один і той же знак # ax ^ 2 + b abs (x) + c # завжди буде приймати значення цього знака, коли # x # реальний. Так у наших прикладах, так # a = 1 #, ми можемо відразу відзначити, що:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

так що немає нулів.

Давайте розглянемо інші три рівняння по черзі:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x в {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => в {-2, 1}):} #

Намагаючись кожну з них, ми знаходимо рішення #x in {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x в {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => в {-1, -2}):} #

Намагаючись кожну з них, ми знаходимо всі рішення вихідного рівняння, тобто. #x на {-2, -1, 1, 2} #

Альтернативний метод

Зверніть увагу, що справжні корені Росії # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (де #c! = 0 #) є позитивні реальні корені Росії # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Отже, знайти, яке з цих рівнянь має найбільш реальне коріння, еквівалентно знаходженню, яке з відповідних звичайних квадратичних рівнянь має найбільш позитивні реальні корені.

Квадратичне рівняння з двома позитивними реальними коріннями має ознаки в шаблоні #+ - +# або #- + -#. У нашому прикладі перша ознака завжди позитивна.

З наведених прикладів тільки другий і третій мають коефіцієнти в шаблоні #+ - +#.

Ми можемо знизити друге рівняння # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # оскільки його дискримінант є негативним, але для третього рівняння ми знаходимо:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

має два позитивних реальних кореня, піддаються #4# корені рівняння # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

Відомо, що рівняння bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 має один реальний корінь. Доведіть, що рівняння x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 не має реальних коренів.

Дивись нижче. Корені для bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 є x = (a - 3 b pmsqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2]) / (2 b) Корені будуть співпадати і реальний, якщо a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 або a = b або a = 5b Тепер вирішуючи x ^ 2 + (ab) x + (ab-b) ^ 2 + 1) = 0 маємо x = 1/2 (-a + b pm sqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4]) Умова для складних коренів a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 lt 0 тепер роблячи a = b або a = 5b ми маємо a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 Висновок, якщо bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 має збігаються реальні коріння, тоді x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 буде мати складні корені.

Домен f (x) - множина всіх реальних значень, за винятком 7, а область g (x) - множина всіх реальних значень, крім -3. Що таке домен (g * f) (x)?

Всі реальні числа, крім 7 і -3, коли ви множите дві функції, що ми робимо? ми беремо значення f (x) і множимо його на значення g (x), де x має бути однаковим. Однак обидві функції мають обмеження, 7 і -3, тому продукт двох функцій повинен мати * обидва * обмеження. Зазвичай при виконанні операцій над функціями, якщо попередні функції (f (x) і g (x)) мали обмеження, вони завжди приймаються як частина нового обмеження нової функції або їхньої роботи. Ви також можете візуалізувати це, зробивши дві раціональні функції з різними обмеженими значеннями, потім помножте їх і подивіться, де буде обмежена вісь.

Квадратичне рівняння 4px ^ 2 +4 (p + a) x + p + b = 0 не має реальних коренів. Знайти діапазон значень p в термінах a і b?

Будь ласка, дивіться пояснення нижче. Квадратичне рівняння 4px ^ 2 + 4 (p + a) x + (p + b) = 0 Для того, щоб це рівняння не мало реальних коренів, дискримінант повинен бути Delta <0 Отже, Delta = (4 (p + a)) ^ 2-4 (4p) (p + b) <0 =>, (p + a) ^ 2-p (p + b) <0 =>, p ^ 2 + 2ap + a ^ 2-p ^ 2- pb <0 =>, 2ap-pb <-a ^ 2 =>, p (2a-b) <a ^ 2 Отже, p <- (a ^ 2) / (2a-b) p <(a ^ 2) / (b-2a) Умови: b-2a! = 0 Тому діапазон p в (-оо, a ^ 2 / (b-2a))