Відповідь:
Центр: #(2,-1)#
Вершини: # (2, 1/2) та (2, -5 / 2) #
Спільні вершини: # (1, -1) і (3, -1) #
Фокуси: # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) та (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
Ексцентричність: #sqrt (5) / 3 #
Пояснення:
Метод, який ми хочемо використовувати, називається завершенням квадрата. Ми будемо використовувати його на # x # Спочатку терміни, а потім # y #.
Переставити на
# 9x ^ 2 + 4y ^ 2 - 36x + 8y = -31
Орієнтуючись # x #, розділити на через # x ^ 2 # коефіцієнт і додати квадрат половини коефіцієнта # x ^ 1 # термін для обох сторін:
# x ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 - 4x + 8 / 9y + (- 2) ^ 2 = -31/9 + (-2) ^ 2 #
# (x-2) ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 + 8 / 9y = 5/9 #
Розділіть на # y ^ 2 # коефіцієнт і додати квадрат половини коефіцієнта # y ^ 1 # термін для обох сторін:
# 9/4 (x-2) ^ 2 + y ^ 2 + 2y + (1) ^ 2 = 5/4 + (1) ^ 2 #
# 9/4 (x-2) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 9/4 #
Розділіть на #9/4# спростити:
# (x-2) ^ 2 + 4/9 (y + 1) ^ 2 = 1 #
# (x-2) ^ 2/1 + ((y + 1) ^ 2) / (9/4) = 1 #
Загальне рівняння є
# (x-a) ^ 2 / h ^ 2 + (y-b) ^ 2 / k ^ 2 = 1 #
де # (a, b) # є центром і #h, k # є напів-дрібною / великою віссю.
Читання від центру дає #(2, -1)#.
У цьому випадку # y # напрямок має більшу цінність, ніж # x #, так що еліпс буде розтягнутий в # y # напрямок. # k ^ 2> h ^ 2 #
Вершини одержують шляхом переміщення вгору по великій осі від центру. Тобто # + - sqrt (k) # додано до координати y центру.
Це дає # (2, 1/2) та (2, -5/2) #.
Ко-вершини лежать на другорядній осі. Додаємо # + - sqrt (h) # до координат x центру, щоб знайти їх.
# (1, -1) і (3, -1) #
Тепер, щоб знайти вогнища:
# c ^ 2 = k ^ 2 - h ^ 2 #
# c ^ 2 = 9/4 - 1 #
# c ^ 2 = 5/4 означає c = + -sqrt (5) / 2 #
Вогнища будуть розташовані вздовж лінії #x = 2 # в # + - sqrt (5) / 2 # від #y = -1 #.
# тому # вогнища на # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) та (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
Нарешті виявляється ексцентричність
# e = sqrt (1-h ^ 2 / k ^ 2) #
# e = sqrt (1-1 / (9/4)) = sqrt (1-4 / 9) = sqrt (5) / 3 #
