Будь ласка, хтось допоможе вирішити проблему?

Відповідь:

Спробуйте змінити # x = tan u #

Дивись нижче

Пояснення:

Ми знаємо це # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

За запропонованою зміною ми маємо

# dx = sec ^ 2u du #. Дозволяє замінити в інтеграл

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

Таким чином, скасування зміни:

# u = arctanx # і, нарешті, у нас є

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Відповідь:

#color (синій) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Пояснення:

Давайте спробуємо використовувати тригонометричну заміну для вирішення цього інтеграла. Для цього ми будемо конструювати трикутник під прямим кутом #Delta ABC # і позначити сторони таким чином, що за допомогою формули Піфагора можна вивести вирази, які ми бачимо в аргументі інтеграла наступним чином:

Кут # / _ B = тета # має протилежну сторону # x # і прилеглі сторони #1#. Використовуючи формулу Піфагора:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # призводить до:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # як показано.

Тепер, давайте напишемо три найбільш основні тригонометричні функції для # theta #:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

Тепер нам потрібно використати ці рівняння для вирішення різних частин інтегрального аргументу тригонометричними умовами. Давайте скористаємося # tantheta #:

# tantheta = x #

Візьмемо похідні обох сторін:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Від # costheta # рівняння, для якого ми можемо вирішити #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Якщо підняти обидві сторони цього рівняння до сили #3# ми отримуємо:

# sec ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Тепер, ми можемо замінити те, що ми обчислили на інтеграл завдання, щоб перетворити його в тригонометричний інтеграл:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetad theta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (червоний) (sec ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d тета = intcosthetad theta = sintheta + C #

Тепер ми можемо замінити назад # sintheta # і повернути нашу відповідь в алгебраїчне вираження в термінах # x #:

#color (синій) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #