Як знайти вершину квадратичного рівняння?

Відповідь:

Використовуйте формулу # -b / (2a) # для координат x, а потім підключіть його, щоб знайти y.

Пояснення:

Квадратичне рівняння записується як # ax ^ 2 + bx + c # у стандартній формі. І вершину можна знайти за допомогою формули # -b / (2a) #.

Наприклад, припустимо, що наша задача - знайти вершину (x, y) квадратичного рівняння # x ^ 2 + 2x-3 #.

1) Оцініть значення a, b та c. У цьому прикладі a = 1, b = 2 і c = -3

2) Підключіть ваші значення до формули # -b / (2a) #. Для цього прикладу ви отримаєте #-2/(2*1)# які можна спростити до -1.

3) Ви тільки що знайшли x координату вашої вершини! Тепер підключіть -1 для x у рівнянні, щоб дізнатися y-координата.

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (-1) -3 = y #.

5) Після спрощення вищенаведеного рівняння ви отримуєте: 1-2-3, що дорівнює -4.

6) Ваша остаточна відповідь (-1, -4)!

Сподіваюся, що це допомогло.

Відповідь:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # має вершину в # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Пояснення:

Розглянемо загальний квадратичний вираз:

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

і пов'язане з нею рівняння #f (x) = 0 #:

# => ax ^ 2 + bx + c = 0 #

З корінням, # alpha # і # beta #.

Ми знаємо (за симетрією - див. Нижче для доказу), що вершина (або максимальна або мінімальна) є середньою точкою двох коренів, # x #-координат вершини:

# x_1 = (alpha + beta) / 2 #

Проте згадаємо добре вивчені властивості:

# {: ("сума коренів", = альфа + бета, = -b / a), ("продукт коренів", = альфа-бета, = c / a):} #

Таким чином:

# x_1 = - (b) / (2a) #

Надання нам:

# f (x_1) = a (- (b) / (2a)) ^ 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

= (b ^ 2) / (4a) - b ^ 2 / (2a) + c # t

# (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# - (b ^ 2 - 4ac) / (4a) #

Таким чином:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # має вершину в # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Доказ середини:

Якщо у нас є

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Потім, диференціюючи wrt # x #:

# f '(x) = 2ax + b #

У критичній точці перша похідна, #f '(x) # зникає, що вимагає:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) t QED