Як ви знаходите область паралелограма з вершинами?

Відповідь:

Для паралелограм #А Б В Г# область

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Пояснення:

Припустимо, що наш паралелограм #А Б В Г# визначається координатами його чотирьох вершин - # x_A, y_A #, # x_B, y_B #, # x_C, y_C #, # x_D, y_D #.

Щоб визначити площу нашого паралелограма, потрібна довжина його бази # | AB | # і висоту # | DH | # від вершини # D # вказати # H # на стороні # AB # (це, #DH_ | _AB #).

Перш за все, щоб спростити завдання, давайте перемістимо його в положення, коли його вершина # A # збігається з походженням координат. Територія буде такою ж, але розрахунки буде простіше.

Отже, ми виконаємо наступне перетворення координат:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Тоді (# U, V #) координати всіх вершин будуть:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Тепер наш паралелограм визначається двома векторами:

# p = (U_B, V_B) # і # q = (U_D, V_D) #

Визначте довжину бази # AB # як довжина вектора # p #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

Довжина висоти # | DH | # можуть бути виражені як # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

Довжина # AD # - довжина вектора # q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Кут # / _ BAD # можна визначити за допомогою двох виразів для скалярного (точкового) продукту векторів # p # і # q #:

# (p * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

з якого

# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Тепер ми знаємо всі компоненти для обчислення області:

База # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Висота над рівнем моря # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Область - це їхній продукт:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Що стосується початкових координат, це виглядає так:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Відповідь:

інша дискусія

Пояснення:

Геометричні докази

Розглядаючи цифру

ми можемо легко встановити формулу для обчислення площі паралелограма ABCD, коли будь-які три вершини (скажімо A, B, D) відомі.

Оскільки діагональна BD поділяє паралелограм на два конгруентних трикутника.

Площа паралелограма ABCD

= 2 площа трикутника ABD

= 2 площа трапеції BAPQ + площа пастки BQRD - площа пастки DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + анулювати (Y_BX_B) -відкрити (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + скасувати (Y_DX_D) -відкрити (Y_BX_B) -Y_AX_D-скасувати (Y_DX_D) + скасувати (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Ця формула дасть область паралелограма.

Доказ, що розглядає вектор

Вона також може бути встановлена з урахуванням #vec (AB) # і# vec (AD) #

Тепер

Вектор положення точки A w.r, t походження O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Вектор положення точки B w.r, t походження O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Вектор положення точки D w.r, t походження O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Тепер

Площа паралелограм ABCD

# = Базова (AD) * Висота (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

Знову

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Площа = # | vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + скасувати (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-скасувати (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Таким чином, ми маємо ту ж формулу