Чому ми повинні використовувати "комбінації n речей, взятих x за раз", коли ми обчислюємо біноміальні ймовірності?

Відповідь:

Дивіться нижче про мої думки:

Пояснення:

Загальна форма для біноміальної ймовірності:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

Питання: чому нам потрібен перший термін, комбінований термін?

Давайте працюватимемо на прикладі, а потім зрозуміємо.

Давайте розглянемо біноміальну ймовірність перевертати монету 3 рази. Давайте визначимося, як бути головами # p # і не отримувати голови # ~ p # (обидва #=1/2)#.

Коли ми проходимо процес підсумовування, 4 умови підсумовування будуть дорівнювати 1 (по суті, ми знаходимо всі можливі результати і тому ймовірність всіх результатів підсумовується до 1):

#sum_ (k = 0) ^ (3) = колір (червоний) (C_ (3,0) (1/2) ^ 0 ((1/2) ^ (3))) + колір (синій) (C_ (3,1) (1/2) ^ 1 ((1/2) ^ (2))) + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 ((1/2) ^ (1)) + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 ((1/2) ^ (0)) #

Так що давайте поговоримо про червоний термін і синій термін.

Червоний термін описує результати отримання 3 хвостів. Існує лише 1 спосіб досягнення цього, і тому ми маємо комбінацію, яка дорівнює 1.

Зауважте, що останній термін, що описує отримання всіх головок, також має комбінацію, яка дорівнює 1, оскільки знову є тільки один спосіб досягти цього.

Синій термін описує результати отримання 2 хвостів і 1 голову. Можливі три способи: TTH, THT, HTT. І тому ми маємо комбінацію, що дорівнює 3.

Зверніть увагу, що третій термін описує отримання 1 хвоста і 2 голови і знову є 3 способи досягнення цього, і тому комбінація дорівнює 3.

Насправді, в будь-якому біноміальному розподілі, ми повинні знайти ймовірність одного виду події, наприклад, ймовірність досягнення 2 голів і 1 хвоста, а потім помножити її на кількість шляхів, якими вона може бути досягнута. Оскільки ми не дбаємо про порядок досягнення результатів, ми використовуємо комбінаційну формулу (а не формулу перестановок).