Будь ласка, вирішіть q 11?

Відповідь:

Знайдіть мінімальне значення # 4 cos theta + 3 sin theta. #

Лінійна комбінація - це фазова зсувна і масштабована синусоїда, масштаб якої визначається величиною коефіцієнтів у полярній формі, #. sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} = 5, # так мінімум #-5#.

Пояснення:

Знайдіть мінімальне значення # 4 cos theta + 3 sin theta #

Лінійна комбінація синуса і косинуса одного і того ж кута є фазовим зсувом і масштабуванням. Ми розпізнаємо Піфагора Тріпл #3^2+4^2=5^2.#

Дозволяє # phi # бути таким кутом #cos phi = 4/5 # і #sin phi = 3/5 #. Кут # phi # є основним значенням #arctan (3/4) # але для нас це не має значення. Нам важливо, що ми можемо переписати наші константи: # 4 = 5 cos phi # і # 3 = 5 гріх. Тому

# 4 cos theta + 3 sin theta #

# = 5 (cos phi cos theta + sin phi sin theta) #

# = 5 cos (тета - фі) #

так має мінімум #-5#.

Відповідь:

#-5# є необхідним мінімальним значенням.

Пояснення:

Розділіть рівняння # 3sinx + 4cosx # від #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # звести його до форми #sin (x + -alpha) або cos (x +-alpha) # де # a # і # b #

- коефіцієнти # sinx # і # cosx # відповідно.

# rarr3sinx + 4cosx #

# = 5 sinx * (3/5) + cosx * (4/5) #

Дозволяє # cosalpha = 3/5 # потім # sinalpha = 4/5 #

Тепер, # 3sinx + 4cosx #

# = 5 sinx * cosalpha + cosx * sinalpha #

# = 5sin (x + alpha) = 5sin (x + alpha) #

Значення # 5sin (x + alpha) # буде мінімальним, коли #sin (x + alpha #)) є мінімальним і мінімальним значенням #sin (x + alpha) # є #-1#.

Отже, мінімальне значення # 5sin (x + alpha) = - 5 #