Якщо f (x) = x tan ^ -1, то f (1) є те, що?

Відповідь:

# f (1) # де #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Пояснення:

Я припускаю, що це питання #f (1) # де #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Зазвичай я обробляю # arctan # як багатозначні. Але тут з явною функцією нотації #f (x) # Я скажу, що ми хочемо, щоб головне значення зворотного дотичного. Кут з тангенсом 1 в першому квадранті # 45 або # pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Це кінець. Але давайте відкинемо це питання і зосередимося на чому #arctan t # дійсно означає.

Зазвичай я думаю про це #tan ^ -1 (t) # або еквівалентно (і, думаю, краще позначення) #arctan (t) # як багатозначне вираження. "Функція" arctan насправді не є функцією, тому що вона є зворотною щось періодичною, яка насправді не може мати зворотного відношення по всьому домену.

Це дійсно заплутано для студентів і вчителів. Раптом у нас є речі, які виглядають як функції, які насправді не функціонують. Вони начебто підсунули під радаром. Нові правила необхідні для роботи з ними, але вони ніколи не чітко вказані. Математика починає розмиватися, коли вона не повинна.

# x = arctan t # краще думати як рішення #tan x = t. Їх кількість є незліченною, одна на період. Тангенс має період # pi # тому рішення є # pi # один від одного, де і де #pi k # походить від, ціле число # k #.

Зазвичай я пишу головну величину зворотного дотичної як Арктана, зі столицею А. На жаль, Сократ продовжує його "виправляти". Я вигадую його тут:

#t = tan x # має рішення

#x = arctan t = текст {Arc} текст {tan} (t) + pi k quad # для цілого числа # k #.