Як вирішити систему x ^ 2 + y ^ 2 = 9 і x-3y = 3?

Відповідь:

Є дві рішення цієї системи: точки #(3,0)# і #(-12/5, -9/5)#.

Пояснення:

Це цікава система задач рівнянь, оскільки вона дає більше одного рішення на змінну.

Чому це відбувається, ми можемо проаналізувати зараз. Перше рівняння - стандартна форма для кола з радіусом #3#. Другий - це трохи безладного рівняння для рядка. Прибирали, це виглядало б так:

#y = 1/3 x - 1 #

Отже, природно, якщо ми вважаємо, що рішення цієї системи буде точкою, де лінія і коло перетинаються, ми не повинні дивуватися, дізнавшись, що буде два рішення. Один, коли лінія входить в коло, а інша, коли вона виходить. Переглянути цей графік:

граф {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Спочатку ми почнемо маніпулювати другим рівнянням:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Ми можемо вставити це безпосередньо в перше рівняння для вирішення # y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Очевидно, що це рівняння має два рішення. Один для #y = 0 # і інший для # 9 + 5y = 0 # що означає #y = -9 / 5 #.

Тепер ми можемо вирішити для # x # на кожному з них # y # значення.

Якщо # y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Якщо #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Отже, наші два рішення є точками: #(3,0)# і #(-12/5, -9/5)#. Якщо ви подивитеся на графік, ви можете побачити, що вони явно відповідають двом точкам, в яких лінія перетинала коло.