Відповідь:
Еліпс
Пояснення:
Коніки можна представити як
#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #
де #p = {x, y} # і
#M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})) #.
Для коніки #m_ {12} = m_ {21} # потім # M # власні значення завжди реальні, оскільки матриця симетрична.
Характерним є многочлен
#p (лямбда) = лямбда ^ 2- (m_ {11} + m_ {22}) лямбда + дет (М) #
Залежно від їх коренів, конічну можна класифікувати як
1) Рівний --- коло
2) Такий же знак і різні абсолютні значення --- еліпс
3) Знаки різних --- гіперболи
4) Один нульовий корінь --- парабола
У даному випадку ми маємо
#M = ((4,0), (0,8)) #
з характеристичним поліномом
# lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #
з корінням #{4,8}# тому ми маємо еліпс.
Будучи еліпсом, для нього існує канонічне подання
# ((x-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2 = 1 #
# x_0, y_0, a, b # можна визначити наступним чином
# 4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28- (b ^ 2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (y-y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 для всіх x в RR #
дарування
# {(-28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0), (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b ^ 2 = 0):} #
Рішення ми отримуємо
# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0} #
тому
# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} екв {(x-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1} #
