Перетворити всі складні числа на тригонометричну форму, а потім спростити вираз? Напишіть відповідь у стандартній формі.

Відповідь:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2

Пояснення:

В іншій відповіді на це запитання я здогадався, що в цьому питанні йдеться про помилку #-3# повинен був бути # -sqrt {3} #. Я був запевнений в коментарі, що це не так, що питання правильне, як написано.

Я не повторю, як ми визначилися

# 2 + 2i = 2 sqrt {2} {cis} t

# sqrt {3} + i = 2 {cis} t

Але тепер ми повинні перетворити # -3 + i # до тригонометричної форми. Ми можемо це зробити, але, оскільки це не один з бажаних трикутників Тріга, це трохи незручно.

# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

Ми знаходимося у другому квадранті, а головне значення зворотного дотичного - четвертий квадрант.

# кут (-3 + i) = {арк} текст {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ #

# 3 + i = sqrt {10} {{cis} (текст {Arc} текст {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ) #

Де Moivre не працює дуже добре на такій формі, ми отримуємо

# (-3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} {cis} (3 (текст {арка} текст {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ)) #

Але ми не застрягли. Оскільки експонент тільки #3# ми можемо зробити це з формулами з потрійним кутом. Назвемо постійний кут, який ми знайшли

#theta = кут (-3 + i) #

De Moivre, # (-3 + i) ^ 3 = (sqrt {10} {cis} тета) ^ 3 = 10sqrt {10} (cos (3 theta) + i sin (3 тета)) #

Ми знаємо

# cos theta = -3 / sqrt {10}, quad sin theta = 1 / sqrt {10} #

#cos (3 тета) = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = 4 (-3 / sqrt {10}) ^ 3 - 3 (- 3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10)) / 50 #

#sin (3 тета) = 3 sin theta - 4 sin ^ 3 theta = 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #

# (-3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #

Це схоже на набагато більше роботи, ніж просто кубік # (- 3 + i): #

# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) = (- 3 + i) (8 -6i) = -18 + 26 i quad sqrt #

Добре, давайте зробимо проблему:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = {(2 sqrt {2}) {{cis}} ^ ^ цир) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(2 {cis} 30 ^ circ) ^ {10} } #

# = ({2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) {text {cis} (5 cdot 45 ^ circ)} / {{cis} (10 cdot 30 ^ circ)} (- 3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) {текст {cis} (225 ^ circ)} / {{{cis} (300 ^ circ)} (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) {cis} (225 ^ circ - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) {cis} (- 75 ^ circ) #

Уф, це ніколи не закінчується. Ми отримуємо

#cos (-75 ^ circ) = cos 75 ^ circ = cos (45 ^ circ + 30 ^ circ) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1/4 (sqrt) {6} -sqrt {2}) #

#sin (-75 ^ circ) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 ({6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}) i) #

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #